Ce que demande cette question

La question 10 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2016 vous confronte à une étude de fonctions exigeante, centrée sur le logarithme népérien. L'énoncé introduit deux fonctions, f et g, définies sur un domaine qu'il faut identifier grâce à la présence du logarithme et du dénominateur. La fonction f est un quotient multiplié par un logarithme, tandis que g est une somme de termes simples. L'objectif est d'évaluer votre capacité à mener une étude analytique rigoureuse.

Les quatre affirmations balayent un large spectre de l'analyse. Vous devrez d'abord déterminer le signe de la fonction g sur un intervalle donné, ce qui implique l'étude de ses variations. Ensuite, il vous est demandé de statuer sur la convexité de g sur son domaine de définition. La troisième affirmation requiert le calcul de la dérivée de la fonction f afin de vérifier son expression en fonction de g. Enfin, la dernière proposition vous invite à étudier la position relative de la courbe de f par rapport à celle de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle des réels strictement positifs.

Les notions à maîtriser

• Le domaine de définition : identifier les restrictions imposées par les quotients et par la fonction logarithme népérien.
• La dérivation : maîtriser les formules de dérivation d'un produit, d'un quotient et du logarithme pour calculer les dérivées.
• L'étude de signe et les variations : déduire le signe d'une fonction à partir de ses variations et de ses valeurs remarquables.
• La convexité : relier la notion de convexité au signe de la dérivée seconde de la fonction étudiée.
• La position relative de deux courbes : étudier le signe de la différence de deux fonctions pour situer leurs courbes.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour aborder ce type de question au concours ACCÈS, une méthodologie stricte est indispensable. Commencez par expliciter le domaine de définition des fonctions. Ici, la présence de la variable au dénominateur et dans le logarithme impose un domaine strictement positif. Lors du calcul de la dérivée de f, prenez votre temps. Une erreur dans l'application de la formule de dérivation d'un produit ou d'un quotient faussera l'affirmation correspondante et vos déductions ultérieures.

Concernant la convexité, rappelez-vous qu'il faut dériver la fonction deux fois. Ne confondez pas le signe de la dérivée première avec celui de la dérivée seconde. Pour la position relative des courbes, posez clairement la différence des deux expressions et factorisez au maximum pour faciliter l'étude du signe. Le logarithme népérien change de signe en un, un point de bascule très fréquent.

Gardez à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations à juger vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est pénalisée, car une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vous n'êtes pas certain d'un calcul de dérivée ou d'une étude de signe, il est préférable de s'abstenir plutôt que de risquer de perdre des points. La gestion du risque est essentielle pour réussir.