Ce que demande cette question

Dans cette dixième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2017, vous êtes confronté à l'étude simultanée de deux fonctions. La première comporte un polynôme du second degré multiplié par une exponentielle, tandis que la seconde est une fonction exponentielle standard avec un exposant négatif. L'énoncé vous demande d'analyser plusieurs propriétés géométriques et analytiques de leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé. Tout d'abord, vous devez statuer sur le sens de variation de la première fonction sur un intervalle spécifique, ce qui implique de dériver correctement un produit de fonctions pour en déduire le signe de la dérivée. Ensuite, il vous est demandé de déterminer les points d'intersection exacts entre les deux courbes, ce qui revient à poser et résoudre une équation algébrique où les deux expressions sont égales. La troisième affirmation vous invite à examiner la position relative de leurs tangentes en un point précis de l'axe des ordonnées. Il faudra calculer les nombres dérivés respectifs pour vérifier si ces droites sont effectivement perpendiculaires. Enfin, la dernière proposition consiste à résoudre une inéquation stricte impliquant la seconde fonction exponentielle pour en déduire un ensemble de solutions précis.

Les notions à maîtriser

• Dérivation d'un produit de fonctions : savoir appliquer la formule classique pour obtenir l'expression correcte de la dérivée, puis factoriser pour étudier son signe efficacement.
• Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle : connaître le signe strictement positif de l'exponentielle sur l'ensemble des réels, sa stricte croissance, et ses règles opératoires de base.
• Équations de tangentes et orthogonalité : se rappeler que deux droites non verticales sont perpendiculaires dans un repère orthonormé si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs (donnés par les nombres dérivés) est égal à moins un.
• Résolution d'équations et d'inéquations : être capable de simplifier une expression comportant des exponentielles et d'isoler la variable, notamment en utilisant la stricte monotonie de la fonction ou le logarithme népérien.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est particulièrement exigeant en matière de gestion du temps et de précision calculatoire. Face à une question d'analyse fonctionnelle comme celle-ci, la plus grande rigueur dans vos calculs de dérivées est primordiale. Une simple erreur de signe lors de la dérivation du produit faussera toute l'étude des variations et vous conduira inévitablement à cocher une mauvaise case. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon, notamment pour l'évaluation des coefficients directeurs des tangentes au point d'intersection. Gardez toujours à l'esprit que l'épreuve applique un barème spécifique et redoutable : une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur la résolution de l'équation d'intersection ou si vous avez un doute sur l'inéquation finale, il est souvent stratégique et préférable de laisser l'affirmation sans réponse plutôt que de tenter de deviner au hasard. L'objectif de cette épreuve n'est pas de répondre à tout prix à l'intégralité des propositions, mais bien de sécuriser un maximum de points sur les affirmations dont vous êtes absolument certain. Lisez très attentivement les intervalles proposés dans l'énoncé, car un piège classique des concepteurs du sujet consiste à proposer une propriété qui s'avère vraie sur un sous-ensemble, mais qui devient fausse sur l'intervalle global demandé dans l'affirmation.