Ce que demande cette question

Cette question emblématique de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique vous confronte à l'étude complète d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. L'énoncé vous présente une fonction définie sur l'intervalle des réels strictement positifs, construite comme la somme du carré du logarithme népérien et du logarithme népérien lui-même. L'objectif principal est d'analyser les propriétés géométriques et analytiques de sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Dans un premier temps, vous devez déterminer les points d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. Si l'un des points est déjà donné, il vous appartient de trouver les coordonnées exactes du second point d'intersection pour pouvoir juger les affirmations suivantes. Ensuite, la question vous demande d'évaluer l'existence et la valeur du minimum global ou local de la fonction sur son domaine de définition. Cela implique une étude rigoureuse des variations de la fonction. Par la suite, vous êtes amené à travailler sur l'équation de la tangente à la courbe en un point précis, et à comparer sa direction avec celle d'une autre droite donnée dans l'énoncé. Enfin, la dernière affirmation vous propose une fonction complexe et vous demande de vérifier s'il s'agit bien d'une primitive de la fonction initiale sur l'intervalle donné.

Les notions à maîtriser

• Résolution d'équations logarithmiques : vous devez être capable de factoriser une expression contenant des logarithmes ou de poser un changement de variable judicieux pour trouver les racines de la fonction.
• Dérivation et étude de variations : il est indispensable de maîtriser les formules de dérivation, en particulier la dérivée d'une fonction au carré et la dérivée du logarithme népérien, afin de dresser le tableau de variations et d'identifier les extrema.
• Propriétés des tangentes : vous devez connaître sur le bout des doigts la formule de l'équation de la tangente en un point et savoir que le parallélisme entre deux éléments géométriques se vérifie par l'égalité de leurs coefficients directeurs.
• Calcul intégral et primitives : il faut comprendre le lien fondamental entre une fonction et sa primitive, et maîtriser la dérivation d'un produit de fonctions pour vérifier efficacement les propositions de l'énoncé.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa densité et son exigence. Face à une question d'analyse de ce type, la gestion de votre temps et le choix de vos méthodes de résolution sont cruciaux. Il est souvent inutile et chronophage de chercher à calculer directement la primitive d'une fonction complexe comportant des logarithmes au carré. La méthode la plus sûre et la plus rapide consiste à dériver la fonction proposée dans l'affirmation pour vérifier si vous retrouvez bien l'expression de la fonction initiale. Soyez extrêmement vigilant lors de l'application de la formule de dérivation d'un produit, car un simple oubli de signe ou de terme faussera votre conclusion.

Concernant l'étude de la fonction, prenez le temps de bien factoriser l'expression avant de chercher ses racines. Une erreur classique consiste à simplifier trop hâtivement par le logarithme, ce qui vous ferait perdre une solution évidente. De même, lors du calcul de la dérivée pour trouver le minimum, assurez-vous de bien respecter les règles de composition des fonctions.

Enfin, gardez toujours à l'esprit la règle d'or du barème du concours ACCÈS : une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Les points de pénalité attribués pour une mauvaise réponse peuvent rapidement faire chuter votre note globale. Si vous n'êtes pas absolument certain de votre calcul de dérivée ou de votre résolution d'équation, il est parfois stratégique de ne pas cocher la case plutôt que de risquer de perdre des points précieux. Prenez le temps de vérifier vos calculs intermédiaires au brouillon avant de valider définitivement vos choix sur la grille de réponses.