Ce que demande cette question
Dans cette sixième question du concours ACCÈS 2021, vous êtes confronté à l'étude classique d'une fonction numérique. L'énoncé présente une fonction définie sur l'ensemble des réels privé de la valeur un, et vous demande d'évaluer quatre affirmations distinctes balayant plusieurs aspects de l'analyse mathématique.
La première affirmation vous invite à vérifier le domaine de définition de la fonction pour confirmer si la restriction donnée est justifiée. Ensuite, la deuxième affirmation exige de résoudre une équation pour déterminer le nombre de racines distinctes. Vous devrez manipuler l'expression algébrique pour isoler l'inconnue et conclure sur les solutions réelles.
La troisième affirmation se concentre sur le sens de variation sur un intervalle précis. Vous serez amené à utiliser la dérivation pour étudier le signe de la dérivée. Enfin, la dernière affirmation propose une forme simplifiée de la fonction. Vous devrez vérifier si l'expression initiale peut se réduire à cette forme affine. Cette simplification est souvent la clé pour valider rapidement les autres propositions.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :
- Le domaine de définition : savoir identifier les valeurs interdites, notamment les annulations de dénominateurs dans le cas de fonctions rationnelles.
- La factorisation et la simplification : maîtriser la recherche de racines d'un trinôme du second degré pour factoriser une expression et la simplifier.
- La dérivation et les variations : connaître les formules de dérivation usuelles et savoir dresser un tableau de signes pour en déduire les intervalles de croissance ou de décroissance.
- La résolution d'équations : être capable de résoudre des équations polynomiales et de discuter du nombre de solutions selon les paramètres ou le discriminant.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS possède une évaluation particulière à intégrer dans votre stratégie. Pour les quatre affirmations, vous devez indiquer si elles sont vraies ou fausses. Rappelez-vous le barème : une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Les pénalités découragent le hasard. Si vous n'êtes pas certain de votre calcul, il est préférable de s'abstenir pour ne pas perdre de points précieux.
Un piège classique dans ce type d'exercice réside dans l'ordre de traitement des affirmations. Bien que présentées de A à D, il est parfois beaucoup plus judicieux de commencer par la dernière. Par exemple, si vous parvenez à démontrer que la fonction se simplifie grandement, l'étude des variations et la résolution des équations demandées dans les affirmations précédentes deviendront triviales et beaucoup moins chronophages. Ne foncez pas tête baissée dans des calculs de dérivées complexes si une factorisation évidente vous tend les bras.
Enfin, soyez extrêmement vigilant concernant le domaine de définition. Les concepteurs du sujet aiment tester votre rigueur en proposant des solutions qui tombent exactement sur une valeur interdite. Une racine trouvée lors de la résolution d'une équation n'est valide que si elle appartient au domaine de définition initial de la fonction. Gardez toujours cette contrainte à l'esprit lors de la validation finale de vos résultats.