Ce que demande cette question

La question 5 de l'épreuve de raisonnement logique du concours ACCÈS 2011 vous confronte à un grand classique des tests de logique mathématique : le problème d'âges basé sur la manipulation des chiffres qui composent un nombre. L'énoncé vous présente trois personnages, à savoir un mari, son épouse et leur voisine. Pour chacun d'entre eux, une relation mathématique complexe est décrite textuellement. Cette relation fait intervenir l'âge global de la personne, mais aussi la somme, le produit et la différence des chiffres des dizaines et des unités qui composent cet âge. Votre objectif principal est de traduire rigoureusement ces phrases en langage mathématique. Vous devez notamment utiliser la décomposition classique d'un nombre à deux chiffres en base dix pour formuler des équations précises. Une fois ces équations posées, il vous est demandé de vérifier la validité de quatre affirmations distinctes. Les deux premières affirmations proposent des factorisations spécifiques des équations obtenues pour le mari et la voisine. Les deux dernières affirmations vous demandent de déterminer si les informations fournies sont suffisantes pour trouver l'âge exact du mari et celui de son épouse, en sachant que cette dernière est plus jeune que lui. Il s'agit donc d'un exercice complet de modélisation algébrique et de résolution sous contraintes d'entiers.

Les notions à maîtriser

• La décomposition en base dix : Il est impératif de savoir qu'un nombre entier composé de deux chiffres peut s'écrire sous la forme algébrique dix fois le chiffre des dizaines plus le chiffre des unités.
• La traduction algébrique d'un énoncé : Vous devez être capable de transformer des expressions littérales telles que le produit ou la différence des chiffres en variables mathématiques sans commettre d'erreur de signe.
• La factorisation et le développement : La vérification des affirmations nécessite de manipuler des expressions algébriques, de développer des produits de facteurs et de regrouper les termes pour retrouver les formules proposées.
• La résolution d'équations diophantiennes simples : Puisque les variables représentent des chiffres, elles sont nécessairement des nombres entiers compris entre zéro et neuf, ce qui permet de limiter les cas possibles et de trouver les âges par déduction ou par essais successifs.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Dans l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS, la gestion du temps et la rigueur sont vos meilleurs atouts. Face à un problème de mise en équation comme celui-ci, le piège principal consiste à se précipiter dans les calculs mentaux sans poser clairement les variables sur son brouillon. Prenez le temps d'écrire la formule générale de l'âge avant de traduire les dires de chaque personnage. Une simple erreur de signe lors de la soustraction de la différence des chiffres faussera l'intégralité de votre raisonnement pour la suite de la question. De plus, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de ce concours exigeant. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes qu'il faut juger vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à modéliser l'équation du mari mais que vous bloquez sur la résolution permettant de trouver l'âge exact de l'épouse, il est stratégiquement préférable de ne cocher que les cases dont vous êtes absolument certain. Ne répondez jamais au hasard, car la pénalité pour une affirmation incorrecte viendra amputer les points durement gagnés sur les autres propositions. Concentrez-vous sur la précision de votre algèbre et utilisez les contraintes d'entiers naturels pour éliminer rapidement les solutions absurdes.