Introduction aux programmes de calcul au Brevet

L'exercice 1 du sujet de Polynésie 2015 est un classique incontournable du Brevet des Collèges. Il porte sur les programmes de calcul, un support idéal pour évaluer deux compétences majeures du cycle 4 : le calcul littéral et la résolution d'équations. Ce type d'exercice demande aux élèves de passer de l'arithmétique (manipulation de nombres) à l'algèbre (manipulation de variables \(x\)). Comprendre comment transformer une suite d'instructions en une expression mathématique est essentiel pour obtenir les points lors de l'examen final.

Analyse Méthodique du Programme A

Dans la première partie, on nous demande de tester le Programme A avec des valeurs numériques. C'est une phase d'échauffement cruciale pour comprendre le fonctionnement des étapes.

Question 1.a : Avec le nombre 4 comme départ. Les étapes sont :
1. Choisir 4.
2. Ajouter 3 : \(4 + 3 = 7\).
3. Calculer le carré du résultat : \(7^2 = 49\).
4. Soustraire le carré du nombre de départ : \(49 - 4^2 = 49 - 16 = 33\).
Le résultat est bien 33. Cette question est un guide qui permet de valider votre compréhension du texte.

Question 1.b : Avec le nombre \(-5\). Attention ici aux priorités et aux signes !
1. Choisir \(-5\).
2. Ajouter 3 : \(-5 + 3 = -2\).
3. Calculer le carré : \((-2)^2 = 4\). (Rappel : le carré d'un nombre négatif est toujours positif).
4. Soustraire le carré de départ : \(4 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21\).
L'erreur classique ici serait d'écrire \(-5^2 = -25\) sans parenthèses ou de se tromper dans la soustraction des relatifs.

Analyse Méthodique du Programme B et démonstration

Le Programme B est plus simple en apparence : multiplier par 6 puis ajouter 9. Soit, pour un nombre \(x\), l'expression \(6x + 9\).

Question 2 : Prouver l'égalité des programmes. C'est ici que le calcul littéral entre en scène. Pour prouver que Clément a raison pour *n'importe quel nombre*, il ne suffit pas de tester des exemples. Il faut utiliser une variable \(x\).
Traduisons le Programme A en fonction de \(x\) :
1. Nombre de départ : \(x\).
2. Ajouter 3 : \(x + 3\).
3. Carré du résultat : \((x + 3)^2\).
4. Soustraire le carré du départ : \((x + 3)^2 - x^2\).

Développons cette expression en utilisant l'identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\((x + 3)^2 - x^2 = (x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2) - x^2\)
\(= x^2 + 6x + 9 - x^2\)
\(= 6x + 9\).
On constate que l'expression simplifiée du Programme A est strictement identique à celle du Programme B. Clément a donc raison : les deux programmes sont équivalents mathématiquement.

Résolution de l'Équation (Question 3)

On cherche \(x\) tel que le résultat soit 54. Puisque les deux programmes sont identiques, nous utilisons l'expression la plus simple : \(6x + 9 = 54\).
1. On isole le terme en \(x\) : \(6x = 54 - 9\).
2. \(6x = 45\).
3. On divise par 6 : \(x = \frac{45}{6} = 7,5\).
Pour obtenir 54, il faut donc choisir 7,5 au départ.

Les Pièges et Conseils de Rédaction

1. La gestion des parenthèses : Lors du calcul de \((-2)^2\), l'absence de parenthèses sur votre copie pourrait être pénalisée, car \(-2^2 = -4\) alors que \((-2)^2 = 4\). Soyez rigoureux sur ce point.

2. La généralisation : Ne faites jamais l'erreur de penser que tester deux ou trois nombres suffit à prouver une égalité générale. La seule méthode de preuve acceptable au Brevet pour la question de Clément est le développement de l'expression littérale.

3. Présentation : Structurez votre réponse en annonçant ce que vous calculez. Par exemple : "Appliquons le programme B au nombre x". Soulignez vos résultats finaux pour faciliter la lecture du correcteur. Une copie claire avec un raisonnement logique est la clé pour obtenir le maximum de points en mathématiques.