Introduction aux Fonctions de 3ème
Cet exercice du Brevet 2015 (Zone Nouvelle-Calédonie) est une étude de cas classique sur les fonctions. L'objectif est de comparer trois systèmes de tarification pour le téléchargement de clips vidéo. À travers ce problème, nous mobilisons les notions de fonctions linéaires, de fonctions affines et de fonctions constantes. Comprendre comment transformer un énoncé concret en expressions algébriques comme $f(x)$, $g(x)$ et $h(x)$ est une compétence fondamentale pour l'épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet.
Analyse de la Question 1 : Le Choix Initial
Pour un utilisateur ponctuel qui ne souhaite télécharger qu'un seul clip ($x=1$), il faut calculer le coût pour chaque option. Pour le téléchargement direct, le prix est de $4€$. Pour l'option membre, le coût total est l'inscription plus le prix du clip : $10 + 2 = 12€$. Pour l'option premium, le coût est fixe à $50€$. La comparaison est immédiate : $4 < 12 < 50$. Le choix le moins cher pour un clip unique est donc le téléchargement direct sans inscription.
Analyse de la Question 2 : Le Tableau de Valeurs
Le tableau permet de visualiser l'évolution des prix en fonction de la quantité. Pour 5 clips en téléchargement direct, on calcule $4 \times 5 = 20€$. Pour l'option membre, on applique la formule $10 + 2 \times 5 = 20€$. À 5 clips, on observe un point d'équilibre entre le direct et le membre. Au-delà de 5 clips (à partir de 6), l'option membre devient financièrement plus avantageuse. C'est un point de rupture essentiel à identifier dans l'analyse économique d'un contrat.
Analyse de la Question 3 : Modélisation et Graphique
L'exercice demande d'associer des fonctions aux tarifs. C'est ici que la théorie rejoint la pratique :
1. Le tarif direct est proportionnel au nombre de clips : $g(x) = 4x$ (fonction linéaire). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.
2. Le tarif membre inclut un coût fixe de départ : $h(x) = 2x + 10$ (fonction affine). Sa droite ne passe pas par l'origine mais par le point $(0, 10)$.
3. Le tarif premium est forfaitaire : $f(x) = 50$ (fonction constante). C'est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses.
Le tracé doit être précis. Pour $h(x)$, utilisez deux points, par exemple $(0, 10)$ et $(10, 30)$. Pour déterminer graphiquement quand le premium est le moins cher, on cherche l'intervalle où la droite de $f(x)$ est située en dessous des deux autres. Graphiquement, cela se produit après l'intersection de la droite $h$ et de la droite $f$.
Les Pièges à Éviter au Brevet
Attention à ne pas oublier l'unité (l'euro) dans vos réponses. Un piège courant est de mal interpréter l'axe des ordonnées sur le graphique, surtout quand l'échelle est importante (ici 1 unité = 10 euros). Vérifiez toujours la cohérence de vos calculs avec votre tracé. Par exemple, si votre calcul dit que le membre est moins cher à partir de 5 clips, les droites $g$ et $h$ doivent se croiser exactement à $x=5$.
Conseil de Rédaction pour l'Examen
Pour obtenir le maximum de points, soignez la justification. Ne vous contentez pas d'un nombre. Écrivez : « Soit $x$ le nombre de clips. Le coût pour l'option membre est composé d'une partie fixe de $10€$ et d'une partie variable de $2€$ par clip, d'où $h(x) = 2x + 10$ ». Pour la lecture graphique, tracez des pointillés sur votre copie pour montrer au correcteur comment vous avez trouvé la valeur de $x=20$ pour l'offre premium. La clarté de l'argumentation est aussi importante que l'exactitude du résultat.