Analyse de l'énoncé et préparation

Cet exercice 1 du Brevet 2024 de la session Polynésie est un questionnaire à choix multiples (QCM) très complet, mobilisant cinq compétences clés du programme de 3ème : le théorème de Pythagore réciproque, les fonctions affines, les transformations géométriques (homothétie), les proportions (ratio) et l'arithmétique (PGCD). L'absence de justification demandée souligne l'importance de la rapidité et de la précision des calculs.

Question 1 : Vérification de la nature du triangle (Pythagore Réciproque)

Pour déterminer si le triangle ABC est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Le plus grand côté est AC = 29 cm. Nous vérifions si $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Calcul : $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. Or $29^2 = 841$. L'égalité étant vérifiée, le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé à l'hypoténuse (AC), soit en B. (Réponse : ABC est un triangle rectangle en B).

Question 2 : Détermination de la fonction affine

La droite coupe l'axe des ordonnées (y) au point (0, 1), ce qui donne l'ordonnée à l'origine $b=1$. La fonction est de la forme $f(x) = ax + 1$. Pour trouver le coefficient directeur $a$, on lit la pente : si l'on avance de 2 unités horizontalement ($\Delta x=2$), on monte de 1 unité verticalement ($\Delta y=1$). Le coefficient $a$ est donc $\Delta y / \Delta x = 1/2$. (Réponse : $f(x) = \frac x2 + 1$).

Question 3 : Identifier une Homothétie

La figure n°2 est un agrandissement de la figure n°1, ce qui exclut la symétrie et la translation. Il s'agit d'une homothétie de centre O. Le côté de la figure n°2 est deux fois plus grand que celui de la figure n°1. De plus, les deux figures sont situées de part et d'autre du centre O (elles sont inversées). Le rapport $k$ est donc négatif et égal à l'inverse de l'agrandissement. (Réponse : l'homothétie de centre O et de rapport $- 2$).

Question 4 : Calcul avec des Ratios

Le ratio total est $10 + 6 + 2 = 18$ parts. Le volume total est 90 cL. Chaque part vaut $90 \div 18 = 5$ cL. Le jus de fruit de la passion représente 6 parts. Il faut donc $6 \times 5 = 30$ cL. (Réponse : 30 cL de jus de fruit de la passion).

Question 5 : Utilisation du PGCD (Arithmétique)

Le plus grand nombre de sacs identiques que le maraîcher peut remplir correspond au Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des quantités de fruits : PGCD(408, 168). En utilisant l'algorithme d'Euclide : $408 = 2 \times 168 + 72$; $168 = 2 \times 72 + 24$; $72 = 3 \times 24 + 0$. Le PGCD est 24. (Réponse : 24 sacs).

Points clés

• **Géométrie :** Bien identifier l'hypoténuse pour appliquer le théorème de Pythagore réciproque.
• **Fonctions :** Lecture graphique rigoureuse du point d'intersection avec l'axe (ordonnée à l'origine) et calcul du taux d'accroissement (pente).
• **Arithmétique :** Le PGCD sert à résoudre tous les problèmes de partage en groupes identiques maximaux.