Introduction aux grandeurs composées et à la proportionnalité

L'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges de la série générale, notamment le sujet de Nouvelle-Calédonie 2019, propose souvent des exercices ancrés dans le monde réel. L'exercice 4 se concentre sur le projet « Calédorail », un système de transport urbain à Nouméa. Ce type d'énoncé est idéal pour évaluer la maîtrise des grandeurs composées (vitesses), les calculs d'estimations géométriques simples et la gestion des pourcentages. Pour un élève de 3ème, réussir cet exercice demande de la rigueur dans la conversion des unités et une compréhension fine des structures de proportionnalité.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Estimation de distance

La première question porte sur l'estimation de la distance entre la station 1 et la station 4. L'énoncé précise que la distance moyenne entre deux stations est de 450 mètres. Le piège classique ici est de multiplier par le nombre de stations (4) au lieu du nombre d'intervalles.
En observant le schéma fourni, on identifie clairement trois segments : [Station 1 ; Station 2], [Station 2 ; Station 3] et [Station 3 ; Station 4]. Pour un élève, il est crucial de dessiner ou de visualiser ces intervalles. Le calcul mathématique est simple : $3 \times 450 = 1350$ mètres soit $1,35$ km. Le raisonnement doit être explicité sur la copie : 'Il y a 3 intervalles entre la station 1 et la station 4'. Sans cette mention, l'examinateur pourrait croire à un résultat trouvé au hasard, même s'il est correct.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Calcul de la vitesse moyenne

La question 2 introduit la notion de vitesse moyenne, une grandeur composée fondamentale. On nous donne une distance $d = 9,9$ km et un temps $t = 24$ minutes. L'objectif est d'exprimer cette vitesse en km/h.
Il existe deux méthodes principales pour résoudre ce problème :
1. La méthode de la formule : On utilise $v = \frac{d}{t}$. Cependant, le temps est en minutes. Il faut donc le convertir en heures. $24$ minutes correspondent à $\frac{24}{60}$ d'heure, soit $0,4$ h. Le calcul devient alors $v = \frac{9,9}{0,4} = 24,75$ km/h.
2. La méthode du tableau de proportionnalité : On dresse un tableau avec la distance en km et le temps en minutes. Si le bus parcourt $9,9$ km en $24$ min, combien parcourt-il en $60$ min ? Le calcul est $(9,9 \times 60) / 24 = 24,75$ km/h.
Cette seconde méthode est souvent moins source d'erreurs pour les élèves qui ont du mal avec les divisions de nombres décimaux.

Analyse Méthodique de la Question 3 : Application d'un pourcentage d'augmentation

La troisième partie concerne la tarification. On part d'un prix initial de $190$ F (Francs CFP). Le prix du ticket Calédorail subirait une hausse de $40\%$.
Ici encore, deux approches sont possibles. La première consiste à calculer le montant de l'augmentation : $190 \times \frac{40}{100} = 76$ F. On ajoute ensuite cette hausse au prix initial : $190 + 76 = 266$ F.
La seconde méthode, plus élégante et utile pour la classe de seconde, utilise le coefficient multiplicateur. Augmenter de $40\%$ revient à multiplier par $(1 + \frac{40}{100})$, soit $1,4$. Ainsi, $190 \times 1,4 = 266$. Cette méthode est plus rapide et limite les étapes de calcul intermédiaires, réduisant ainsi le risque d'erreur de saisie sur la calculatrice.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Plusieurs erreurs récurrentes sont observées lors de la correction de cet exercice :
- L'erreur d'intervalle : Compter 4 espaces pour 4 stations. Rappelez-vous la règle des poteaux et des clôtures : pour 4 poteaux, il n'y a que 3 longueurs de fil.
- La mauvaise conversion du temps : Écrire que 24 minutes égalent $0,24$ heure est l'erreur la plus fatale. Le temps n'est pas en base 100 mais en base 60. Divisez toujours les minutes par 60 pour obtenir des heures décimales.
- L'oubli des unités : Un résultat sans unité (km, km/h, F) perd souvent une partie des points de la question. Soyez précis dans vos conclusions.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour séduire le correcteur, structurez votre réponse :
1. Notez les données de l'énoncé clairement avec leurs symboles ($d=...$, $t=...$).
2. Énoncez la formule mathématique utilisée avant d'injecter les chiffres.
3. Réalisez le calcul proprement.
4. Faites une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée.
Par exemple, pour la vitesse : 'La vitesse moyenne du bus Calédorail serait de 24,75 km/h'. Une rédaction soignée montre que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique du problème.

Pourquoi cet exercice est-il important ?

Il regroupe trois piliers du programme de troisième : la géométrie de base, la gestion des données et le calcul numérique. La maîtrise de la vitesse et des pourcentages est indispensable non seulement pour le brevet, mais aussi pour la vie quotidienne. Comprendre comment une hausse de prix est calculée ou estimer un temps de trajet sont des compétences citoyennes. En travaillant cet exercice de 2019, vous vous préparez à des thématiques très fréquentes dans les sujets actuels.