Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Zone Amérique du Sud) est un excellent support pour réviser trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : le calcul littéral, la résolution d'équations du premier degré et la gestion des pourcentages. L'énoncé s'appuie sur une thématique concrète et transversale : la santé et le rythme cardiaque. À travers l'étude de deux modèles mathématiques différents (l'ancienne méthode et la méthode moderne), l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation réelle par une expression algébrique et à interpréter des résultats numériques dans un contexte précis.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

L'exercice se décompose en deux parties distinctes qui demandent chacune une rigueur particulière dans le raisonnement.

1. Modélisation : Du français vers le langage mathématique

La première question demande de traduire une phrase textuelle en une relation mathématique. C'est l'essence même du calcul littéral. On nous donne deux variables : $f_m$ (fréquence maximale) et $a$ (l'âge). L'énoncé indique qu'il faut soustraire l'âge à 220. L'opération est donc une soustraction simple : $f_m = 220 - a$. Ici, l'erreur classique serait d'inverser les termes ($a - 220$), ce qui n'aurait aucun sens biologique (fréquence négative). Il est crucial de bien identifier quel terme est soustrait à l'autre.

2. Utilisation d'une formule complexe et évaluation

Dans la deuxième partie, une nouvelle formule est introduite : $f_m = 208 - (0,75 \times a)$.
Pour la question 2a, il s'agit d'une simple évaluation de fonction. On remplace $a$ par 60. Le calcul devient : $208 - (0,75 \times 60)$. La priorité opératoire est ici fondamentale : on effectue d'abord la multiplication avant la soustraction. $0,75 \times 60 = 45$. Puis $208 - 45 = 163$. Ainsi, pour une personne de 60 ans, la fréquence cardiaque recommandée est de 163 battements par minute (bpm).

3. Résolution d'équations : Retrouver l'antécédent

La question 2b est un exercice de résolution d'équation. On connaît la valeur de la fréquence ($f_m = 184$) et on cherche l'âge $a$. On pose l'équation suivante : $184 = 208 - 0,75a$.
Pour isoler $a$, on procède par étapes :
1. On soustrait 208 des deux côtés : $184 - 208 = -0,75a$, soit $-24 = -0,75a$.
2. On divise par $-0,75$ pour obtenir $a$ : $a = \frac{-24}{-0,75} = 32$.
L'âge recherché est donc de 32 ans. Ce type de question vérifie la maîtrise des techniques de manipulation des égalités.

4. Analyse de pourcentage : Évaluer une diminution

La dernière question (2c) mélange calcul de valeurs et taux d'évolution. Sarah a 20 ans, puis 40 ans. On doit d'abord calculer sa fréquence à 40 ans avec la formule moderne pour confirmer les données ou l'utiliser. À 20 ans, elle a 193 bpm. À 40 ans, elle a 178 bpm.
Le calcul de la variation en pourcentage suit la formule : $\frac{\text{Valeur Finale} - \text{Valeur Initiale}}{\text{Valeur Initiale}} \times 100$.
Ici : $\frac{178 - 193}{193} = \frac{-15}{193} \approx -0,0777$.
En multipliant par 100, on obtient environ $-7,77\%$. On peut donc affirmer que la diminution est d'environ $8\%$. L'affirmation est donc vraie. Attention à bien diviser par la valeur de départ (celle à 20 ans) et non par celle à 40 ans !

Les Pièges à Éviter

• Les priorités opératoires : Dans la formule $208 - 0,75 \times a$, ne faites jamais la soustraction avant la multiplication.
• Les unités : N'oubliez pas de préciser 'battements par minute' ou 'ans' dans vos phrases de conclusion.
• La confusion dans les pourcentages : Toujours utiliser la valeur de référence (le point de départ chronologique) au dénominateur.
• Lecture de l'énoncé : Confondez-vous l'ancienne formule (utilisée par Sarah dans ses calculs initiaux peut-être) et la nouvelle ? L'énoncé précise bien d'utiliser la 'nouvelle relation' pour les calculs de Sarah.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez clairement la formule que vous utilisez.
2. Détaillez vos étapes de calcul, surtout pour la résolution d'équation.
3. Faites une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée.
4. Pour les pourcentages, montrez le calcul de la fraction avant de donner le résultat arrondi.