Introduction aux notions de Proportionnalité et de Volumes

Cet exercice 4 issu du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2019 (Métropole) est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il combine deux piliers du programme : la proportionnalité appliquée à la vie courante (une recette de pâtisserie) et la géométrie dans l'espace avec le calcul de volumes de solides usuels (cylindre et pavé droit). L'élève doit démontrer sa capacité à extraire des informations d'un énoncé complexe, à modéliser une situation de décroissance arithmétique (étages de gâteaux) et à effectuer des calculs de précision incluant le nombre $\pi$.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est découpé en deux parties distinctes qui se rejoignent sur la thématique culinaire. La première partie teste votre maîtrise des ratios et de la quatrième proportionnelle, tandis que la seconde sollicite vos connaissances sur les formules de volumes.

Question 1 : Maîtrise du Ratio

On nous demande de calculer le ratio (masse de beurre : masse de chocolat). La recette indique $75$~g de beurre pour $100$~g de chocolat. Le ratio s'écrit initialement sous la forme d'une fraction : $\frac{75}{100}$. Pour obtenir la fraction irréductible, il faut chercher le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Ici, $75$ et $100$ sont tous deux divisibles par $25$. On a donc : $75 = 3 \times 25$ et $100 = 4 \times 25$. Le ratio simplifié est donc $\frac{3}{4}$. Cela signifie que pour chaque gramme de chocolat, on utilise trois quarts de gramme de beurre.

Question 2 : Application de la Proportionnalité

Pour calculer la quantité de farine pour $250$~g de chocolat, nous utilisons le coefficient de proportionnalité ou la règle de trois. Si $100$~g de chocolat nécessitent $30$~g de farine, alors $1$~g de chocolat nécessite $0,3$~g de farine (car $30 / 100 = 0,3$). Pour $250$~g de chocolat, le calcul est : $250 \times 0,3 = 75$. Il faut donc prévoir $75$~g de farine. Une autre méthode consiste à voir que $250$ est $2,5$ fois plus grand que $100$, donc on multiplie $30$ par $2,5$.

Question 3 : Géométrie et Suites de Valeurs

La Tour Carrée est composée de $3$ étages. La base du bas mesure $24$~cm. La consigne précise que le côté diminue de $8$~cm à chaque étage. C'est une progression arithmétique simple :
- Étage 1 (bas) : $24$~cm
- Étage 2 (milieu) : $24 - 8 = 16$~cm
- Étage 3 (haut) : $16 - 8 = 8$~cm.
Le côté de la base du plus petit gâteau (celui du haut) est donc de $8$~cm.

Question 4 : Comparaison des Volumes

C'est la question la plus dense en calculs. Il faut calculer le volume total de chaque tour séparément pour les comparer.

Calcul pour la Tour de Pise (Cylindres)

La tour possède 4 gâteaux cylindriques de $6$~cm de hauteur chacun. Le diamètre diminue de $8$~cm à chaque fois. Rappelons que le rayon $r$ est la moitié du diamètre.
- Gâteau 1 : $d = 30$, donc $r = 15$. $V_1 = \pi \times 15^2 \times 6 = 1350\pi \approx 4241$~cm³.
- Gâteau 2 : $d = 30 - 8 = 22$, donc $r = 11$. $V_2 = \pi \times 11^2 \times 6 = 726\pi \approx 2281$~cm³.
- Gâteau 3 : $d = 22 - 8 = 14$, donc $r = 7$. $V_3 = \pi \times 7^2 \times 6 = 294\pi \approx 924$~cm³.
- Gâteau 4 : $d = 14 - 8 = 6$, donc $r = 3$. $V_4 = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi \approx 170$~cm³.
Volume total Tour de Pise = $(1350 + 726 + 294 + 54)\pi = 2424\pi \approx 7615$~cm³.

Calcul pour la Tour Carrée (Pavés droits)

La tour possède 3 gâteaux de $8$~cm de hauteur. Le côté de la base diminue de $8$~cm.
- Gâteau 1 : $c = 24$. $V'_1 = 24^2 \times 8 = 4608$~cm³.
- Gâteau 2 : $c = 16$. $V'_2 = 16^2 \times 8 = 2048$~cm³.
- Gâteau 3 : $c = 8$. $V'_3 = 8^2 \times 8 = 512$~cm³.
Volume total Tour Carrée = $4608 + 2048 + 512 = 7168$~cm³.

En conclusion, la Tour de Pise ($7615$~cm³) a un volume supérieur à celui de la Tour Carrée ($7168$~cm³).

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice concerne la distinction entre diamètre et rayon dans la formule du volume du cylindre. La formule utilise le rayon $r$. Si vous utilisez $30$ au lieu de $15$, votre résultat sera quatre fois trop grand ! Un autre piège réside dans le nombre d'étages : la tour de Pise en a 4, alors que la tour Carrée n'en a que 3. Ne faites pas l'erreur de calculer 4 étages pour la tour carrée par automatisme.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez toujours la formule littérale avant de passer aux chiffres (ex: $V = \pi r^2 h$).
2. Détaillez le calcul de chaque étage. Même si vous faites une erreur de calcul isolée, le correcteur verra votre méthode et vous accordera la majorité des points.
3. N'oubliez pas l'unité ($cm^3$) dans votre phrase de conclusion.