Introduction aux notions de Géométrie Spatiale

L'épreuve du Brevet des Collèges met souvent l'accent sur la capacité des élèves à mobiliser plusieurs compétences au sein d'un même problème. Cet exercice, extrait du sujet Métropole de 2013 (Exercice 8), est une illustration parfaite de ce que l'on appelle une prise d'initiative. Contrairement à des exercices classiques où les questions sont guidées étape par étape (Calculer le volume de A, puis de B, puis conclure), ici, l'élève fait face à une question unique : "Combien de bracelets peut-elle réaliser ?". Ce type de sujet demande une autonomie réelle pour structurer son raisonnement.

Les thèmes abordés ici sont les Volumes des solides usuels : le pavé droit (parallélépipède rectangle), la sphère (ou boule) et le cylindre de révolution. La difficulté réside non seulement dans l'application des formules mathématiques, mais aussi dans la gestion des unités et la conversion des dimensions pour assurer la cohérence des calculs.

Analyse Méthodique et Étapes de Résolution

Pour réussir cet exercice, il faut décomposer le problème en quatre étapes logiques distinctes.

1. Conversion des Unités et Calcul du Volume des Blocs

Le premier réflexe d'un mathématicien est de vérifier les unités. Les dimensions du bloc de pâte à modeler sont données en centimètres (6 cm, 6 cm et 2 cm), tandis que les dimensions des perles sont données en millimètres. Pour éviter de travailler avec des virgules complexes, il est souvent préférable de tout convertir en millimètres :
- Longueur : $6 \text{ cm} = 60 \text{ mm}$
- Largeur : $6 \text{ cm} = 60 \text{ mm}$
- Hauteur : $2 \text{ cm} = 20 \text{ mm}$

Le volume du pavé droit est donné par la formule : $V = L \times l \times h$.
Soit $V_{bloc} = 60 \times 60 \times 20 = 72\,000 \text{ mm}^3$. Chaque bloc (bleu et blanc) possède ce volume initial.

2. Calcul du Volume des Perles

La deuxième étape consiste à déterminer quel volume de pâte est consommé par chaque type de perle. Attention : les formules utilisent le rayon, mais l'énoncé donne souvent le diamètre.

La perle ronde (Boule) : Le diamètre est de 8 mm, donc le rayon $r = 4 \text{ mm}$.
Formule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
Calcul : $V_{ronde} = \frac{4}{3} \times \pi \times 4^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 268 \text{ mm}^3$.

La perle longue (Cylindre) : Le diamètre est de 8 mm ($r = 4 \text{ mm}$) et la hauteur $h = 16 \text{ mm}$.
Formule : $V = \pi \times r^2 \times h$.
Calcul : $V_{longue} = \pi \times 4^2 \times 16 = \pi \times 16 \times 16 = 256 \pi \approx 804 \text{ mm}^3$.

3. Détermination du Nombre de Perles par Bloc

Maintenant que nous connaissons le volume total disponible et le volume unitaire, nous calculons combien de perles Flora peut fabriquer avec un seul bloc.
- Nombre de perles rondes (bleues) : $72\,000 / (256/3 \pi) \approx 268,5$. Flora peut donc faire 268 perles rondes entières.
- Nombre de perles longues (blanches) : $72\,000 / (256 \pi) \approx 89,5$. Flora peut donc faire 89 perles longues entières.

4. Synthèse : Nombre de Bracelets

Un bracelet nécessite 8 perles rondes et 4 perles longues. Nous devons tester la limite imposée par chaque stock :
- Avec les perles rondes : $268 / 8 = 33,5$. On peut faire 33 bracelets.
- Avec les perles longues : $89 / 4 = 22,25$. On peut faire 22 bracelets.

La contrainte la plus forte vient des perles longues. Flora pourra donc réaliser 22 bracelets au total.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal est l'oubli de la conversion du diamètre en rayon. Utiliser 8 mm au lieu de 4 mm dans les formules multiplie le résultat par 4 ou 8 ! De plus, la gestion de l'arrondi est cruciale : on ne peut pas fabriquer une fraction de perle ou de bracelet, il faut donc toujours arrondir à l'unité inférieure dans ce contexte de production.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points sur une question de "prise d'initiative", n'hésitez pas à écrire vos étapes même si vous n'êtes pas sûr du résultat final. Le correcteur évalue votre démarche : la mention des formules, la conversion des unités et la structure logique du raisonnement comptent autant que le résultat numérique final. Utilisez des phrases de conclusion claires pour chaque sous-étape.