Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du Brevet des collèges 2015 (Zone Amérique du Sud), est une parfaite illustration des questions dites de « prise d'initiatives » ou « tâche complexe ». Il mobilise plusieurs compétences fondamentales du programme de 3ème : le calcul d'aires de rectangles, la gestion des unités de mesure, la proportionnalité et l'application d'un pourcentage de réduction. L'élève doit ici naviguer entre différentes informations (Information 1, 2 et 3) pour construire son propre cheminement de résolution. Les tags associés à cette épreuve sont clairs : Prise d'initiatives, Volumes (bien que l'exercice se concentre ici sur les surfaces), Pourcentages et Proportionnalité. La réussite de cet exercice dépend de la capacité à organiser ses données et à ne pas oublier les marges de sécurité lors du calcul de la surface des dalles.

Analyse Méthodique de l'exercice

La première étape consiste à choisir le modèle de piscine. L'énoncé précise que Monsieur et Madame Jean choisissent le modèle ayant la plus grande surface. Attention : il s'agit de la surface au sol (l'aire du rectangle) et non du volume, bien que les profondeurs soient indiquées pour nous induire en erreur ou pour vérifier la lecture attentive. Les dimensions sont données en centimètres, il est donc préférable de les convertir immédiatement en mètres pour faciliter les calculs financiers ultérieurs.

• Modèle A : Dimensions $500 \text{ cm} \times 300 \text{ cm}$, soit $5 \text{ m} \times 3 \text{ m}$. Aire = $5 \times 3 = 15 \text{ m}^2$.
• Modèle B : Dimensions $850 \text{ cm} \times 350 \text{ cm}$, soit $8,5 \text{ m} \times 3,5 \text{ m}$. Aire = $8,5 \times 3,5 = 29,75 \text{ m}^2$.
• Modèle C : Dimensions $800 \text{ cm} \times 400 \text{ cm}$, soit $8 \text{ m} \times 4 \text{ m}$. Aire = $8 \times 4 = 32 \text{ m}^2$.

Le choix se porte donc sur le Modèle C, qui possède la plus grande surface ($32 \text{ m}^2$).

Calcul de la surface des dalles en bois

C'est ici que réside la principale difficulté stratégique. Les dalles entourent la piscine sur une largeur de $2 \text{ m}$. Imaginons le rectangle formé par la piscine de $8 \text{ m}$ par $4 \text{ m}$. Si on ajoute $2 \text{ m}$ de dalles tout autour, la nouvelle longueur totale devient $8 + 2 + 2 = 12 \text{ m}$ et la nouvelle largeur totale devient $4 + 2 + 2 = 8 \text{ m}$.

Pourquoi ajouter deux fois 2 mètres ? Parce que les dalles sont présentes à gauche ET à droite pour la longueur, et en haut ET en bas pour la largeur. L'aire totale (piscine + dalles) est donc de $12 \text{ m} \times 8 \text{ m} = 96 \text{ m}^2$. Pour obtenir l'aire des dalles seules, il faut soustraire l'aire de la piscine : $96 - 32 = 64 \text{ m}^2$.

Coût financier et Promotion (Vente Flash)

L'Information 2 nous indique que le prix est de $13,90$ € par mètre carré. Le coût initial sans promotion est donc de $64 \times 13,90 = 889,60$ €. L'Information 3 mentionne une « Vente flash : 15% ». Il faut donc calculer le prix final après une réduction de $15 \%$. On peut utiliser le coefficient multiplicateur : $1 - \frac{15}{100} = 0,85$.

Le prix final payé est donc : $889,60 \times 0,85 = 756,16$ €. Ce résultat final couronne une démarche rigoureuse où chaque étape doit être clairement justifiée par un calcul écrit.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique dans ce type de sujet est l'oubli du doublement de la largeur de la bordure. Beaucoup d'élèves font l'erreur de calculer $8+2$ et $4+2$. Un schéma à main levée est indispensable pour visualiser que la bordure entoure l'objet des deux côtés. Un autre piège est de mélanger les unités : assurez-vous de convertir les centimètres en mètres dès le début pour éviter de manipuler des chiffres inutilement grands et des conversions d'aires ($1 \text{ m}^2 = 10,000 \text{ cm}^2$) souvent sources d'erreurs. Enfin, ne confondez pas surface et périmètre, ou surface et volume (les données de profondeur et de débit de pompe sont ici des distracteurs).

Conseils de Rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points, même si votre résultat final est erroné, vous devez structurer votre copie. Commencez par une phrase explicite : "Je compare les aires des trois modèles pour choisir la piscine". Présentez vos calculs de conversion et d'aires clairement. Ensuite, utilisez un titre comme "Calcul de la surface de dallage". Expliquez votre raisonnement pour les dimensions du grand rectangle. Enfin, détaillez le calcul du pourcentage. N'oubliez jamais l'unité (€) dans votre phrase de conclusion. La mention "toute trace de recherche sera prise en compte" signifie que si vous expliquez votre blocage, vous pouvez encore glaner des points.