Introduction aux notions clés du Brevet : Arithmétique et Probabilités

Cet exercice, issu du sujet Pondichéry 2016 (Exercice 3), est un modèle de polyvalence pour les élèves de troisième. Il combine habilement deux domaines majeurs du programme de mathématiques : l'arithmétique (divisibilité et recherche du Plus Grand Commun Diviseur - PGCD) et les probabilités (expériences aléatoires simples et successives). À travers la thématique concrète d'un confiseur gérant sa production, cet exercice évalue la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques rigoureux. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer de maîtriser la logique de répartition et le calcul de chances de gain, des compétences transversales indispensables pour réussir l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique de l'Exercice : Guide de Raisonnement

L'exercice est structuré en deux grandes parties : la gestion initiale des stocks et la gestion de crise suite à une erreur de fabrication. Voici comment décomposer votre réflexion pour chaque question.

1. Calcul des besoins de production

La première question est une application directe de la multiplication. Le confiseur souhaite remplir 50 boîtes. Chaque boîte contient 10 bonbons au chocolat et 8 au caramel. Le raisonnement doit être binaire : on multiplie le nombre de boîtes par la quantité de chaque type de bonbon. Pour le chocolat, nous avons $50 \times 10 = 500$ unités. Pour le caramel, nous avons $50 \times 8 = 400$ unités. Cette étape simple est cruciale pour poser le cadre de l'exercice.

2. Probabilités simples : Le tirage de Jules

Jules prend un bonbon au hasard dans une boîte pleine. Ici, l'univers (l'ensemble des issues possibles) est constitué de l'ensemble des bonbons d'une boîte. Une erreur classique est de ne considérer que 10 ou 8. Le total est de $10 + 8 = 18$ bonbons. La probabilité d'obtenir un chocolat est donc de $\frac{10}{18}$, ce qui se simplifie en $\frac{5}{9}$. En probabilités, n'oubliez jamais de donner le résultat sous forme de fraction irréductible, sauf si l'énoncé demande une valeur décimale.

3. Probabilités successives et modification de l'univers : Le cas de Jim

Jim mange un bonbon, puis en tire un deuxième. C'est ici que l'exercice se corse. On ne connaît pas la nature du premier bonbon mangé. Cependant, l'énoncé demande s'il est plus probable de tirer un chocolat ou un caramel au second tour. Si Jim a mangé un chocolat, il reste 9 chocolats et 8 caramels (le chocolat reste plus probable). S'il a mangé un caramel, il reste 10 chocolats et 7 caramels (le chocolat est encore plus probable). Dans tous les scénarios possibles, le nombre de chocolats reste supérieur au nombre de caramels car la différence initiale (10 contre 8) est supérieure à 1. Le raisonnement logique prime ici sur le calcul brut.

4. Arithmétique avancée : Gestion de stock et PGCD

La partie 4 introduit le problème de la divisibilité. Le confiseur dispose de 473 chocolats et 387 caramels.
Question 4.a : Peut-il faire des boîtes de 10 chocolats et 8 caramels ? Pour le chocolat, $473$ n'est pas divisible par $10$ (le chiffre des unités est 3). Pour le caramel, $387$ n'est pas divisible par $8$ (un nombre impair ne peut être divisé par 8). La réponse est donc négative car il resterait des bonbons.
Question 4.b : C'est la question centrale sur le PGCD. Pour faire le plus grand nombre de boîtes identiques en utilisant tout le stock, il faut trouver le plus grand diviseur commun à 473 et 387. En utilisant l'algorithme d'Euclide : $473 = 387 \times 1 + 86$, puis $387 = 86 \times 4 + 43$, et enfin $86 = 43 \times 2 + 0$. Le PGCD est donc 43. Il peut fabriquer 43 boîtes. Pour la composition, on divise chaque stock par 43 : $473 / 43 = 11$ chocolats et $387 / 43 = 9$ caramels par boîte.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal en probabilité réside dans l'oubli de la mise à jour de l'effectif total. Si un objet est retiré et non remis (comme le bonbon mangé par Jim), le dénominateur de votre fraction change obligatoirement. En arithmétique, l'erreur fréquente est de confondre les multiples et les diviseurs. Rappelez-vous : le PGCD sert à 'partager' ou 'diviser' un stock en parts égales les plus grandes possibles. Enfin, ne négligez jamais la justification. Écrire '43' sans montrer l'algorithme d'Euclide ou la décomposition en facteurs premiers vous fera perdre la moitié des points.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses. Commencez par 'On cherche le PGCD de 473 et 387 pour déterminer le nombre maximal de boîtes'. Utilisez des connecteurs logiques (Or, Donc, Par conséquent). Pour les probabilités, énoncez clairement la formule : 'Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre de cas total'. Une copie propre avec des calculs posés et des conclusions soulignées attire la bienveillance du correcteur.