Introduction aux notions de Durées et d'Arithmétique

Cet exercice, issu du sujet du Brevet de Mathématiques Polynésie 2017, est un classique incontournable des épreuves de fin de collège. Il mobilise deux compétences majeures du programme de 3ème : la gestion des durées (calcul de temps écoulé, conversion) et l'arithmétique, plus précisément la recherche de multiples communs ou du Plus Petit Commun Multiple (PPCM). L'énoncé nous place dans une situation concrète : deux lignes de bus circulent en boucle. L'objectif est de déterminer à quels moments précis ces deux bus se retrouvent simultanément à leur point de départ commun, l'arrêt \(\text{Mairie}\).

Analyse Méthodique de l'Énoncé

Pour résoudre ce problème, il faut procéder par étapes analytiques rigoureuses. La première étape consiste à déterminer le temps nécessaire à chaque bus pour effectuer un tour complet de son circuit respectif.

1. Analyse de la Ligne 1 : En observant le plan fourni en LaTeX, nous comptons les segments entre chaque arrêt pour la ligne 1 (tracée en pointillés). Le bus part de la \(\text{Mairie}\) et passe par : École, Pompier, Lycée, Piscine, Bibliothèque, Cathédrale, Place, puis revient à la \(\text{Mairie}\). Cela représente un total de 8 intervalles. L'énoncé précise que le bus de la ligne 1 met 3 minutes entre chaque arrêt. La durée d'un circuit complet est donc de : \(8 \times 3 = 24\) minutes.

2. Analyse de la Ligne 2 : Pour la ligne 2 (tracée en trait plein), nous suivons le même raisonnement. En partant de la \(\text{Mairie}\), le bus passe par : Gendarmerie, Collège, Marché, Horloge, Stade, Conservatoire, Cathédrale, puis revient à la \(\text{Mairie}\). Nous comptons également 8 intervalles. Le bus de la ligne 2 met 4 minutes entre chaque arrêt. La durée d'un circuit complet est donc de : \(8 \times 4 = 32\) minutes.

Le Raisonnement Arithmétique : La Recherche de Multiples

Le problème revient à chercher au bout de combien de temps les deux bus se retrouvent à la \(\text{Mairie}\). Le bus 1 y sera toutes les 24 minutes (24, 48, 72, 96, ...), tandis que le bus 2 y sera toutes les 32 minutes (32, 64, 96, ...). Ils se retrouveront ensemble lorsque le temps écoulé sera un multiple commun à 24 et 32.

Pour trouver le premier moment de rencontre (le PPCM), on peut décomposer les nombres en facteurs premiers :
- \(24 = 2^3 \times 3\)
- \(32 = 2^5\)
Le PPCM est donc \(2^5 \times 3 = 32 \times 3 = 96\) minutes.

Cela signifie que les deux bus se retrouvent à l'arrêt \(\text{Mairie}\) toutes les 96 minutes. Il est essentiel de convertir cette durée en heures et minutes pour répondre à la question : \(96 \text{ min} = 1 \text{ h } 36 \text{ min}\).

Calcul des Horaires de Rencontre

Les deux bus partent ensemble à 6 h 30. Pour trouver tous les horaires de rencontre jusqu'à 20 h, nous ajoutons successivement 1 h 36 min :
1. Départ : 6 h 30
2. 6 h 30 + 1 h 36 = 8 h 06
3. 8 h 06 + 1 h 36 = 9 h 42
4. 9 h 42 + 1 h 36 = 11 h 18
5. 11 h 18 + 1 h 36 = 12 h 54
6. 12 h 54 + 1 h 36 = 14 h 30
7. 14 h 30 + 1 h 36 = 16 h 06
8. 16 h 06 + 1 h 36 = 17 h 42
9. 17 h 42 + 1 h 36 = 19 h 18
L'horaire suivant (19 h 18 + 1 h 36) dépasserait 20 h 00. Les bus s'arrêtant juste après 20 h, le dernier rendez-vous à la mairie est à 19 h 18.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice de Brevet est de mal compter le nombre d'intervalles sur le schéma. Certains élèves comptent les points (arrêts) au lieu des segments de trajet. N'oubliez pas que pour revenir au point de départ, il y a autant de segments que d'arrêts si le circuit est fermé. Un autre piège réside dans la conversion des minutes : assurez-vous de bien maîtriser le passage du système sexagésimal (base 60) au calcul décimal. Enfin, ne vous arrêtez pas après avoir trouvé 96 minutes ; l'exercice demande explicitement tous les horaires précis.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, explicitez clairement votre calcul de la durée d'un tour pour chaque ligne. Utilisez des phrases de transition comme : "Cherchons le plus petit multiple commun à 24 et 32". Présentez vos résultats sous forme de liste d'horaires bien lisible. Une conclusion affirmant que les bus se retrouvent effectivement à la mairie 9 fois au total (en incluant le départ) montre une analyse complète du sujet.