Introduction aux notions du Brevet : Statistiques et Géométrie

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2022 en Polynésie (Exercice 3) est une synthèse parfaite pour les élèves de troisième. Il mobilise quatre compétences fondamentales du programme de mathématiques : l'analyse de données statistiques, le calcul de probabilités simples, la maîtrise des volumes dans l'espace (pavé droit) et la résolution d'équations élémentaires pour trouver une dimension manquante. L'exercice est divisé en deux parties indépendantes, ce qui permet de tester la polyvalence des candidats sur la gestion de la production industrielle (briques de jus de pomme) et la conception de packaging (briques de jus de raisin).

Analyse Méthodique de la Partie A : Statistiques et Probabilités

La première partie repose sur une série statistique représentant le volume de remplissage de 24 briques de jus de pomme. Voici le guide pas à pas pour chaque question :

1. Déterminer et interpréter la médiane

Pour trouver la médiane, il faut d'abord identifier l'effectif total, qui est ici de $N = 24$. Comme $24$ est un nombre pair, la médiane se situe entre la $12^{ème}$ et la $13^{ème}$ valeur de la série ordonnée. En observant le tableau et en calculant les effectifs cumulés croissants ($1, 3, 7, 11, 13...$), on s'aperçoit que la $11^{ème}$ valeur est $349$ et que la $12^{ème}$ ainsi que la $13^{ème}$ valeurs sont $350$. La médiane est donc $\frac{350 + 350}{2} = 350$ mL. Interprétation : Cela signifie qu'au moins 50 % des briques contiennent moins de $350$ mL et au moins 50 % des briques contiennent plus de $350$ mL.

2. Calcul de l'étendue

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. Ici, le volume maximum observé est $357$ mL et le volume minimum est $344$ mL. Le calcul est simple : $357 - 344 = 13$ mL. L'étendue permet de mesurer la dispersion de la production de l'entreprise.

3. Probabilité d'un événement précis

On utilise la formule classique de Laplace : $P = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$. Le tableau indique que l'effectif correspondant au volume de $350$ mL est $2$. L'effectif total est de $24$. La probabilité est donc de $\frac{2}{24}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{12}$. En valeur approchée, cela donne environ $0,083$, soit environ $8,3$ % de chances.

4. Calcul de pourcentage de commercialisation

Une brique est vendable si son volume $V$ respecte $345 \le V \le 355$. Nous devons additionner les effectifs des volumes $347, 348, 349, 350, 351, 352, 353$ et $354$. En faisant la somme : $2 + 4 + 4 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 21$. Il y a donc $21$ briques conformes sur $24$. Le pourcentage se calcule ainsi : $\frac{21}{24} \times 100 = 0,875 \times 100 = 87,5$ %.

Analyse Méthodique de la Partie B : Volumes et Équations

La seconde partie demande de manipuler les formules de géométrie dans l'espace pour un pavé droit (parallélépipède rectangle).

1. Calcul de l'aire de la base

La base est un rectangle de longueur $L = 6,4$ cm et de largeur $l = 5$ cm. L'aire de la base $A$ est donnée par la formule $A = L \times l$. On obtient $6,4 \times 5 = 32$ cm$^2$.

2. Détermination de la hauteur via une équation

On sait que le volume $V$ d'un pavé droit est égal à $\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$. On nous donne $V = 400$ cm$^3$ et nous avons calculé l'aire de la base ($32$ cm$^2$). On pose l'équation suivante où $h$ est la hauteur recherchée : $32 \times h = 400$. Pour isoler $h$, on effectue la division : $h = \frac{400}{32}$. Le résultat est $12,5$ cm. La hauteur de la brique de jus de raisin doit donc être de $12,5$ cm.

Les Pièges à éviter au Brevet

La confusion Médiane/Moyenne : La médiane partage la série en deux groupes d'effectifs égaux, tandis que la moyenne est le centre de gravité des valeurs. Ne faites pas la somme des produits effectifs $\times$ valeurs si on ne vous demande que la médiane. Les unités : En géométrie, vérifiez toujours que les unités sont cohérentes. Ici, tout est en cm, donc le résultat est directement en cm$^2$ pour l'aire et cm$^3$ pour le volume. Si on avait eu des décimètres, une conversion aurait été nécessaire (rappel : $1$ mL = $1$ cm$^3$). L'interprétation : Une question demandant d'interpréter un résultat ne se contente pas d'un nombre ; il faut rédiger une phrase en français correct expliquant ce que ce nombre signifie concrètement dans le contexte de l'exercice.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points lors de l'examen du Brevet : 1. Citez explicitement vos formules (ex: "L'aire d'un rectangle est $L \times l$"). 2. Présentez vos calculs de manière aérée. 3. Encadrez ou soulignez vos résultats finaux. 4. N'oubliez jamais l'unité dans la phrase de conclusion. Par exemple, pour la question sur la hauteur, écrivez : "La hauteur nécessaire pour un volume de $400$ cm$^3$ est de $12,5$ cm." Plutôt que de simplement noter "$12,5$". La clarté de votre copie est votre meilleure alliée face au correcteur.