Introduction aux notions clés du Brevet 2026

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2026 est un classique incontournable pour tout élève de 3ème préparant son Brevet des Collèges. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques : le calcul littéral (modélisation de périmètres), l'algorithmique (via l'interface Scratch) et la résolution d'équations. L'objectif est de comparer deux grandeurs géométriques dépendant d'une variable $x$ en utilisant différents outils numériques et algébriques. Nous allons voir comment passer d'une figure géométrique à une expression mathématique, puis comment utiliser un tableur ou un script pour conjecturer une solution avant de la valider par le calcul exact.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Partie A : Géométrie et Calcul Littéral

La première étape consiste à manipuler les expressions algébriques fournies sur les figures. On nous donne un rectangle ABCD avec une longueur $AB = 3x+1$ et une largeur $BC = x-2$.

1. Substitution numérique : Pour $x = 10$, on remplace simplement $x$ dans l'expression. La longueur $AB$ devient $3 \times 10 + 1 = 31$. Pour le périmètre, rappelons la formule : $P = 2 \times (L + l)$. Ici, $AD = x-2 = 10-2 = 8$. Le périmètre est donc $2 \times (31 + 8) = 2 \times 39 = 78$. La justification doit être claire : il faut montrer le calcul de chaque côté avant de sommer.

2. Démonstration de la formule générale : Il s'agit de prouver que le périmètre est $8x - 2$. En développant l'expression générale : $P = 2 \times ((3x+1) + (x-2)) = 2 \times (4x - 1)$. En utilisant la distributivité, on obtient $2 \times 4x - 2 \times 1$, soit $8x - 2$. Attention à ne pas oublier de réduire les termes en $x$ à l'intérieur de la parenthèse avant de multiplier par 2.

Partie B : Algorithmique, Tableur et Algèbre

La seconde partie introduit le triangle isocèle IJK de périmètre $6x + 9$ et confronte les méthodes de résolution.

1. Compréhension du script Scratch : Le script est une structure conditionnelle "Si... Alors... Sinon". Si l'utilisateur saisit $x = 7$, le programme calcule :
- Périmètre ABCD : $8 \times 7 - 2 = 54$
- Périmètre IJK : $6 \times 7 + 9 = 51$
Comme $54 \neq 51$, la condition est fausse. Le lutin dira donc : "Les deux périmètres ne sont pas égaux".

2. Utilisation du Tableur : En cellule B2, pour calculer le périmètre de ABCD en fonction de la valeur de $x$ située en A2, la formule correcte est = 8 * A2 - 2. Notez bien l'usage du signe égal et de la référence de cellule relative.
L'analyse de Nour est cruciale : à $x=5$, le périmètre du triangle (39) est supérieur à celui du rectangle (38). À $x=6$, c'est l'inverse : le rectangle (46) dépasse le triangle (45). Puisqu'il y a eu un croisement des valeurs, l'égalité (le point d'intersection des deux fonctions affines) se situe forcément entre ces deux entiers.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice concerne les signes lors de la résolution de l'équation finale : $8x - 2 = 6x + 9$. Pour la résoudre proprement :
1. On regroupe les $x$ : $8x - 6x = 9 + 2$ (n'oubliez pas de changer le signe en changeant de membre !).
2. On simplifie : $2x = 11$.
3. On divise : $x = 11 / 2 = 5,5$.
Vérifiez toujours votre résultat en réinjectant 5,5 dans les deux expressions de départ : $8 \times 5,5 - 2 = 42$ et $6 \times 5,5 + 9 = 42$. L'égalité est vérifiée !

Pour la rédaction au Brevet, soignez la présentation des calculs littéraux. Utilisez des phrases de liaison telles que "D'une part... D'autre part..." lors des vérifications. Pour la question sur le tableur, mentionnez explicitement que vous observez un changement dans l'ordre de grandeur des résultats pour justifier l'encadrement.

Importance de l'exercice

Maîtriser ce sujet, c'est s'assurer de valider des points sur les trois domaines transversaux les plus récurrents du DNB. La capacité à faire le lien entre un problème géométrique et une équation du premier degré est la compétence la plus valorisée par les correcteurs de l'Éducation Nationale.