Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, constitue une base de révision fondamentale pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de mobiliser des compétences de géométrie dans l'espace et de modélisation mathématique. L'objectif est de décomposer un solide complexe (un escalier de piscine) en deux solides élémentaires : des prismes droits à bases triangulaires. Pour réussir, il est crucial de maîtriser le calcul d'aire d'un triangle rectangle et la formule du volume d'un prisme ($V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$).
Points de vigilance et prérequis
- La conversion d'unités : C'est souvent ici que les erreurs se glissent. Il faut savoir que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ et que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$. Ainsi, multiplier un volume en mètres cubes par 1000 est indispensable avant d'utiliser les données du dosage de béton.
- L'identification des dimensions : Le schéma présente plusieurs mesures. Il faut identifier que le terme 'hauteur' dans la formule du volume correspond ici à la profondeur de l'escalier (0,20 m), tandis que les dimensions des triangles rectangles servent à calculer l'aire de la base.
- Interprétation des données : Le tableau de dosage impose une lecture rigoureuse pour choisir la ligne 'Ouvrages en béton courant'.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Démontrer le volume total :
L'escalier est composé de deux prismes. Calculons le volume de chacun :
• Prisme 1 (le plus grand) : La base est un triangle rectangle de côtés 3,40 m et 3,20 m. Son aire est $A_1 = \frac{3,40 \times 3,20}{2} = 5,44 \text{ m}^2$. Son volume est $V_1 = 5,44 \times 0,20 = 1,088 \text{ m}^3$.
• Prisme 2 (le plus petit) : La base est un triangle rectangle de côtés 1,28 m et 1,36 m. Son aire est $A_2 = \frac{1,28 \times 1,36}{2} = 0,8704 \text{ m}^2$. Son volume est $V_2 = 0,8704 \times 0,20 = 0,17408 \text{ m}^3$.
Le volume total est $V_{tot} = 1,088 + 0,17408 = 1,26208 \text{ m}^3$. La démonstration est faite.
2. Calcul du nombre de sacs de ciment :
Le volume est de $1,26208 \text{ m}^3$, soit $1262,08 \text{ Litres}$. D'après le tableau, pour du 'béton courant', 1 sac de 35 kg permet d'obtenir 100 L de béton.
Nombre de sacs = $1262,08 / 100 = 12,6208$. Comme on ne peut pas acheter une fraction de sac, Monsieur Joseph doit acheter 13 sacs de ciment.
3. Quantité d'eau nécessaire :
Le tableau indique 17 L d'eau par sac. Pour 13 sacs, le volume d'eau est : $13 \times 17 = 221 \text{ Litres}$. Si l'on s'en tient au volume exact de béton, le calcul serait $12,6208 \times 17 \approx 214,55 \text{ L}$, mais dans un contexte de chantier, le dosage se fait par sac entier utilisé.