Introduction aux Grandeurs Composées et aux Vitesses

L'exercice 3 du Brevet de mathématiques 2019 (Zone Grèce) est un support pédagogique riche qui aborde la notion de grandeurs composées, et plus spécifiquement la vitesse moyenne et les durées. En classe de 3ème, la maîtrise du lien entre distance, temps et vitesse est cruciale. Une vitesse est le rapport d'une longueur par un temps, généralement exprimée en $km/h$ ou en $m/s$. Ici, nous sommes confrontés à une situation concrète : une piste d'athlétisme. Comprendre comment manipuler ces unités est la clé pour réussir ce type d'exercice au Brevet des collèges.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de la durée de l'échauffement

La première question nous demande de calculer le temps nécessaire pour que Marc effectue son échauffement de $1$ kilomètre ($1000$ m). Nous savons que la piste mesure $400$ m et que Marc met $2$ minutes pour en faire le tour. Le raisonnement doit se faire en deux étapes :

• Calcul du nombre de tours : Si $1$ tour fait $400$ m, alors $1000$ m correspondent à $1000 / 400 = 2,5$ tours.
• Calcul de la durée : Si $1$ tour prend $2$ minutes, alors $2,5$ tours prendront $2,5 \times 2 = 5$ minutes.

Il est essentiel de bien poser les unités pour éviter toute erreur de proportionnalité.

2. Détermination de la vitesse moyenne

La question 2 porte sur la conversion d'une vitesse en $km/h$. Marc a parcouru $1$ km en $5$ minutes. Pour trouver la vitesse en $km/h$, on utilise la formule $v = d / t$. Ici, $d = 1$ km et $t = 5$ min. Comme on veut des $km/h$, il faut convertir $5$ minutes en heures. On sait que $60$ minutes = $1$ heure, donc $5$ minutes = $5/60$ d'heure (soit $1/12$ h).
Le calcul devient : $v = 1 / (1/12) = 1 \times 12 = 12$ km/h. On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité : s'il parcourt $1$ km en $5$ min, en $60$ min il parcourra $12$ fois plus, soit $12$ km.

3. Problème de synchronisation (PPCM)

La dernière partie est un classique des problèmes de cycle. Marc met $2$ min ($120$ s) par tour, tandis que Jim met $1$ min $40$ s ($100$ s). Ils partent ensemble du point A. Pour qu'ils se retrouvent au point A, la durée écoulée doit être un multiple commun de $120$ et $100$. On cherche le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).

• Multiples de $120$ : $120, 240, 360, 480, 600...$
• Multiples de $100$ : $100, 200, 300, 400, 500, 600...$

Le premier multiple commun est $600$ secondes, soit exactement $10$ minutes. Pour le nombre de tours : Marc aura fait $600 / 120 = 5$ tours et Jim $600 / 100 = 6$ tours.

Les Pièges à éviter au Brevet

Le piège principal dans cet exercice réside dans les conversions de temps. Beaucoup d'élèves pensent que $1$ minute $40$ secondes équivaut à $1,4$ minute, ce qui est une erreur fatale. Le temps n'est pas en base $10$ mais en base $60$ (système sexagésimal). Il faut toujours repasser par les secondes pour sécuriser les calculs de multiples. Un autre piège concerne la figure géométrique : bien que l'énoncé donne les dimensions de la piste ($90$ m de long et $70$ m de large pour le rectangle central), le périmètre total est déjà fourni ($400$ m). Ne perdez pas de temps à recalculer le périmètre sauf si cela est explicitement demandé.

Conseils de Rédaction pour l'Évaluation

Pour obtenir le maximum de points, votre copie doit être structurée. Annoncez toujours la formule utilisée (ex: $v = d/t$). Détaillez vos conversions (ex: $1$ min $40$ s $= 100$ s). Pour la question de la rencontre au point A, explicitez que vous cherchez un multiple commun aux deux durées. Même si vous n'arrivez pas au résultat final, écrivez votre démarche : l'examinateur valorise la « trace de recherche ». Enfin, concluez chaque question par une phrase réponse claire et soulignée.