Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2013 (Métropole) est une étude de cas géométrique qui bascule rapidement vers le calcul littéral et la résolution d'équations. Il s'agit d'un exercice de synthèse typique de la classe de 3ème. Il mobilise des compétences en géométrie plane (périmètres du rectangle et du carré) et des compétences algébriques (modélisation d'une situation par une expression littérale et résolution d'une équation du premier degré). Les tags associés à ce sujet sont : Aires et périmètres, Calcul littéral et Équations.

L'énoncé nous présente un rectangle $ABCD$ de dimensions fixes ($30$ cm sur $24$ cm) dans lequel on retire quatre carrés identiques aux angles. Cette configuration crée une forme centrale, un rectangle noir, dont les dimensions dépendent directement de la taille des carrés gris. L'objectif pédagogique est de comprendre comment une variation géométrique se traduit mathématiquement par une variable $x$.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le cas numérique

La première question est une phase d'appropriation. On fixe la longueur du côté des carrés gris à $7$ cm.

a) Périmètre d'un carré gris

Le rappel de la formule est essentiel : le périmètre d'un carré de côté $c$ est $P = 4 \times c$. Ici, avec $c = 7$ cm, le calcul est direct : $4 \times 7 = 28$ cm. Il est important de ne pas confondre le périmètre (longueur du contour) avec l'aire (surface intérieure qui serait ici de $49$ cm²).

b) Périmètre du rectangle noir

C'est ici que le raisonnement géométrique commence. Pour trouver le périmètre du rectangle noir, il nous faut ses dimensions : sa longueur ($L$) et sa largeur ($l$).
Le rectangle initial $ABCD$ mesure $30$ cm de long. On a enlevé deux carrés de $7$ cm de côté aux extrémités. La longueur du rectangle noir est donc : $30 - 7 - 7 = 16$ cm.
De la même manière, la largeur initiale était de $24$ cm. En retirant les deux carrés aux extrémités, la largeur du rectangle noir devient : $24 - 7 - 7 = 10$ cm.
Enfin, on applique la formule du périmètre d'un rectangle $P = 2 \times (L + l)$ : $P = 2 \times (16 + 10) = 2 \times 26 = 52$ cm.

Analyse Méthodique de la Question 2 : La modélisation algébrique

Cette seconde partie demande de généraliser le raisonnement précédent en remplaçant la valeur fixe $7$ par une variable $x$. C'est le cœur du programme de 3ème : passer de l'arithmétique à l'algèbre.

Étape 1 : Exprimer les périmètres en fonction de $x$

Soit $x$ la longueur du côté d'un carré gris.
1. Le périmètre d'un carré gris est $4x$. Puisqu'il y a quatre carrés, la somme de leurs périmètres est $4 \times (4x) = 16x$.
2. Exprimons les dimensions du rectangle noir en fonction de $x$. Sa longueur est $L = 30 - 2x$ et sa largeur est $l = 24 - 2x$.
Le périmètre du rectangle noir est donc : $P_{noir} = 2 \times [(30 - 2x) + (24 - 2x)]$.
Simplifions l'expression : $P_{noir} = 2 \times (54 - 4x) = 108 - 8x$.

Étape 2 : Mise en équation et résolution

Le problème pose la question suivante : est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris ? Cela revient à résoudre l'équation :
$108 - 8x = 16x$.
Ajoutons $8x$ des deux côtés : $108 = 24x$.
Divisons par $24$ : $x = 108 / 24 = 4,5$.
La réponse est donc oui, c'est possible pour un côté de carré égal à $4,5$ cm.

Les Pièges à éviter

Plusieurs erreurs classiques sont observées sur ce type d'exercice au Brevet :
1. L'erreur du double retrait : Beaucoup d'élèves oublient de retirer deux fois $x$ pour calculer la dimension centrale. Ils font $30 - x$ au lieu de $30 - 2x$. Visualiser la figure est crucial : il y a un carré à gauche ET un carré à droite.
2. Confusion entre périmètre et aire : Relisez bien l'énoncé. Si l'on vous parle de contour, c'est le périmètre. Si l'on parle de surface colorée, c'est l'aire.
3. Unités : N'oubliez jamais de préciser les centimètres (cm) dans vos conclusions, mais ne les insérez pas dans vos calculs d'équations pour ne pas surcharger l'écriture.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points :
- Annoncez vos variables : Même si l'énoncé ne le dit pas explicitement, écrivez : "Soit $x$ le côté d'un carré gris".
- Détaillez vos formules : Écrire $P = 2(L+l)$ avant de remplacer par les chiffres montre au correcteur que vous connaissez votre cours.
- Vérifiez la cohérence : Si vous trouvez une valeur de $x$ supérieure à $12$, c'est impossible, car deux carrés de $12$ cm prendraient toute la largeur ($24$ cm). Un résultat de $4,5$ est cohérent avec les dimensions du rectangle $ABCD$.