Introduction aux concepts de géométrie dans l'espace

L'exercice 4 du sujet de Brevet Pondichéry 2015 est un sujet incontournable pour les élèves de troisième. Il mobilise deux compétences majeures du cycle 4 : le calcul de volumes de pyramides et la maîtrise des agrandissements-réductions. Dans cet énoncé, la bouteille de parfum est modélisée par une pyramide à base triangulaire (un tétraèdre). Comprendre comment passer d'une figure complexe à une modélisation géométrique simple est la clé de la réussite au Brevet. Nous allons décomposer l'analyse pour comprendre l'impact d'un plan de coupe parallèle à la base sur les dimensions et les volumes de l'objet.

Analyse méthodique de l'exercice

La première étape consiste à bien identifier la base de la pyramide. Ici, il s'agit du triangle $ABC$. L'énoncé précise qu'il est rectangle et isocèle en A avec $AB = 7,5$ cm. Puisqu'il est isocèle en A, on en déduit immédiatement que $AC = AB = 7,5$ cm. La hauteur de la pyramide est donnée par le segment $[AS]$, dont la longueur est de $15$ cm.

Question 1 : Calcul du volume de la pyramide SABC

Pour calculer le volume d'une pyramide, la formule de référence est $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$.
1. Calcul de l'aire de la base (ABC) : Le triangle étant rectangle en A, son aire se calcule par $\text{Aire} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{7,5 \times 7,5}{2} = 28,125$ cm².
2. Calcul du volume $V_{SABC}$ : En appliquant la formule, on obtient $V = \frac{1}{3} \times 28,125 \times 15$. On peut simplifier le calcul en remarquant que $\frac{15}{3} = 5$, donc $V = 28,125 \times 5 = 140,625$ cm³.
L'énoncé demande un arrondi au cm³ près, soit 141 cm³. Attention à ne pas oublier l'unité de mesure !

Question 2 : La section plane et le coefficient de réduction

Lorsqu'on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient une réduction de la pyramide initiale.
Nature de la section S'MN : Par propriété du cours, la section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base. Puisque $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en A, la section $S'MN$ est un triangle rectangle isocèle en S'.
Calcul de la longueur S'N : Pour cela, il faut déterminer le coefficient de réduction $k$. Il est défini par le rapport entre une longueur de la petite pyramide et la longueur correspondante de la grande pyramide. Ici, on utilise la hauteur : $k = \frac{SS'}{SA} = \frac{6}{15} = 0,4$.
La longueur $S'N$ est l'image de $AC$ par cette réduction. On a donc $S'N = k \times AC = 0,4 \times 7,5 = 3$ cm.

Question 3 : Volume maximal de parfum

Cette question demande d'interpréter l'objet réel. La bouteille est la pyramide entière $SABC$, tandis que $SS'MN$ représente le bouchon. Le volume de parfum que peut contenir la bouteille correspond à l'espace disponible sous le bouchon (le tronc de pyramide) ou à la pyramide entière selon l'interprétation de la structure. Si l'on considère la bouteille complète comme contenant du parfum, le volume est celui calculé en question 1. Cependant, si le bouchon occupe le sommet, le volume de parfum est $V_{parfum} = V_{SABC} - V_{bouchon}$.
Calculons le volume du bouchon : $V_{bouchon} = k^3 \times V_{SABC} = 0,4^3 \times 140,625 = 0,064 \times 140,625 = 9$ cm³.
Le volume de parfum est donc $140,625 - 9 = 131,625$ cm³. Cette distinction entre la 'contenance totale' et la 'contenance utile' est cruciale dans les problèmes de géométrie appliquée.

Les pièges à éviter au Brevet

Le piège classique dans cet exercice est de se tromper sur le coefficient de réduction. Beaucoup d'élèves oublient d'élever $k$ au cube lorsqu'ils passent aux volumes. Rappelez-vous : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires le sont par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Un autre point de vigilance est la précision des arrondis : ne réalisez l'arrondi qu'à la toute fin de votre raisonnement pour éviter de cumuler des erreurs d'approximation.

Conseils de rédaction pour l'épreuve

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement la formule du volume avant de l'utiliser.
2. Précisez la propriété utilisée pour la nature de la section (parallélisme du plan et de la base).
3. Détaillez le calcul du rapport $k$. Une réponse parachutée sans explication du rapport de réduction est souvent pénalisée par les correcteurs.