Analyse de l'énoncé

Cet exercice, présenté sous forme de Questionnaire à Choix Multiple (QCM), balaie des compétences fondamentales du cycle 4 et du début de la classe de Première Spécialité. Bien que le support original soit issu d'un sujet de brevet, les thématiques abordées comme le second degré et les probabilités constituent le socle nécessaire pour réussir l'année de Première. L'exercice demande de la rigueur dans le calcul algébrique et une bonne compréhension des propriétés géométriques liées aux volumes.

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilités : Rappel de la formule de base $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
• Identités remarquables : Maîtrise du développement de $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Attention aux simplifications trompeuses.
• Second degré : Savoir vérifier si un nombre est racine d'un polynôme en remplaçant $x$ par la valeur donnée.
• Agrandissements : Comprendre que si les longueurs sont multipliées par $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.

Correction détaillée

Question 1 : L'urne contient 30 boules au total ($10 + 20$). La probabilité de tirer une boule rouge est $P = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$. La réponse exacte est la B.

Question 2 : Développons $(3x+2)^2$. On utilise $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$. On obtient $(3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$. Regardons la proposition C : $4 + 3x(3x+4) = 4 + 9x^2 + 12x$. C'est identique. La réponse exacte est la C.

Question 3 : Testons la valeur 4 dans l'équation $x^2 - 2x - 8$. $4^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$. La valeur 4 est bien une solution. La réponse exacte est la C.

Question 4 : Le coefficient d'agrandissement est $k=2$. Pour le volume, on applique le coefficient $k^3$. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Le volume est multiplié par 8. La réponse exacte est la C.