Introduction aux notions clés du Brevet 2023

L'exercice 5 du sujet de Mathématiques du Brevet (DNB) 2023 pour la zone Métropole est un véritable condensé du programme de géométrie de troisième. Cet exercice est particulièrement formateur car il mobilise quatre piliers fondamentaux : le Théorème de Pythagore, le Théorème de Thalès, la Trigonométrie (calcul d'angle et de sinus/cosinus) ainsi que le calcul d'aires et périmètres. L'énoncé présente une figure complexe comprenant des triangles imbriqués et une hauteur, ce qui nécessite une lecture attentive des données fournies en centimètres ($cm$).

Analyse de la Figure et Données Initiales

La figure nous montre un triangle $ABC$ dans lequel plusieurs points ont été placés de manière stratégique. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$, $N$ au segment $[AC]$, et $H$ au segment $[BC]$. Une information cruciale est donnée : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Cela doit immédiatement faire penser à l'application du théorème de Thalès. De plus, la présence d'un angle droit en $H$ indique que $[AH]$ est la hauteur du triangle issue de $A$, créant ainsi deux triangles rectangles : $ABH$ et $AHC$.

Étape 1 : Calcul de la longueur AB

Pour calculer $AB$, il suffit d'observer l'alignement des points. Puisque $M$ appartient au segment $[AB]$, nous appliquons la propriété d'additivité des longueurs : $AB = AM + MB$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé ($AM = 2,7$ cm et $MB = 2,5$ cm), on obtient $AB = 2,7 + 2,5 = 5,2$ cm.

Étape 2 : Démontrer que AH mesure 4,8 cm

Cette question demande d'utiliser le Théorème de Pythagore. Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ d'après le codage de la figure. L'hypoténuse est le côté $[AB]$. D'après l'égalité de Pythagore, nous avons : $AB^2 = AH^2 + BH^2$. En isolant $AH^2$, on obtient $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Avec les données $AB = 5,2$ et $BH = 2$, le calcul devient : $AH^2 = 5,2^2 - 2^2 = 27,04 - 4 = 23,04$. La racine carrée de $23,04$ est exactement $4,8$. Donc, $AH = 4,8$ cm.

Étape 3 : Calcul de l'angle ACH (Trigonométrie)

Pour calculer la mesure de l'angle $\widehat{ACH}$, nous nous plaçons dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$. Nous connaissons le côté opposé à l'angle ($AH = 4,8$ cm) et l'hypoténuse ($AC = 8,5$ cm). La formule appropriée est celle du sinus : $\sin(\widehat{ACH}) = \frac{AH}{AC} = \frac{4,8}{8,5}$. En utilisant la touche $Arcsin$ ou $sin^{-1}$ de la calculatrice, on trouve environ $34,37^{\circ}$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, soit $34^{\circ}$.

Étape 4 : Calcul de la longueur HC

Ici, deux méthodes sont possibles : Pythagore ou la trigonométrie (Cosinus ou Tangente). En utilisant Pythagore dans $AHC$ : $HC^2 = AC^2 - AH^2 = 8,5^2 - 4,8^2 = 72,25 - 23,04 = 49,21$. Alors $HC = \sqrt{49,21} \approx 7,015$ cm. L'arrondi au centimètre près donne $HC = 7$ cm.

Étape 5 : L'affirmation de l'élève sur AN et le Théorème de Thalès

Pour vérifier l'affirmation concernant la longueur $AN$, nous devons utiliser le Théorème de Thalès dans les triangles $AMN$ et $ABC$. On sait que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et que $(MN) \parallel (BC)$. Les rapports de proportionnalité sont donc : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$. En utilisant les deux premiers rapports : $\frac{2,7}{5,2} = \frac{AN}{8,5}$. Par le produit en croix, $AN = \frac{2,7 \times 8,5}{5,2} \approx 4,41$ cm. L'élève affirme que $AN < 4$ cm. Or $4,41 > 4$, donc l'élève a tort.

Étape 6 : Aire du triangle AHC

L'aire d'un triangle rectangle est donnée par $\frac{Base \times Hauteur}{2}$. Pour le triangle $AHC$, on peut prendre $[HC]$ comme base et $[AH]$ comme hauteur. Aire $= \frac{HC \times AH}{2} = \frac{7,015 \times 4,8}{2} \approx 16,84$ $cm^2$. Notez qu'utiliser la valeur exacte $\sqrt{49,21}$ est préférable pour plus de précision avant l'arrondi final.

Les Pièges Classiques à éviter

1. L'oubli des unités : Au Brevet, oublier d'écrire 'cm' ou 'cm²' peut coûter des points. 2. La précision des arrondis : Lisez bien si l'on demande un arrondi au dixième, au centième ou à l'unité. 3. La confusion des formules : Ne pas confondre Sinus (Opposé/Hypoténuse) et Cosinus (Adjacent/Hypoténuse).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Nommez toujours le triangle dans lequel vous travaillez et précisez s'il est rectangle avant d'utiliser Pythagore ou la trigonométrie. Pour Thalès, la mention des droites parallèles est obligatoire. Citez explicitement le nom du théorème utilisé : 'D'après le théorème de Pythagore...' ou 'En utilisant la trigonométrie...'.