Introduction aux notions clés : Pythagore et la Modélisation

L'exercice 5 du sujet de Brevet des Collèges 2020 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il ne se contente pas de tester une compétence technique isolée ; il évalue la capacité de l'élève à effectuer un transfert de connaissances entre une figure géométrique abstraite et une situation concrète du quotidien. Cet exercice repose sur deux piliers majeurs du programme de mathématiques : le Théorème de Pythagore et la prise d'initiatives par la modélisation.

Dans la première partie, nous sommes face à un triangle $ABC$ rectangle en $B$ classique. La seconde partie nous présente un problème de 'vie réelle' avec une corde et une personne souhaitant passer dessous. Le lien entre ces deux parties est le cœur même du raisonnement mathématique attendu au cycle 4.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le Calcul de Longueur

La première étape consiste à extraire les données pertinentes de l'énoncé. Nous savons que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Cette précision est cruciale car elle nous donne le 'droit' d'utiliser le théorème de Pythagore. Sans cette mention de l'angle droit (ou du symbole sur la figure), le théorème ne s'applique pas.

Les données sont les suivantes : $AB = 5$ m et $AC = 5,25$ m. Ici, l'élève doit identifier correctement les côtés. $AC$ est le côté opposé à l'angle droit, c'est donc l'hypoténuse. $AB$ et $BC$ sont les côtés de l'angle droit. La rédaction type doit impérativement commencer par : 'Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, on a : $AC^2 = AB^2 + BC^2$.'

En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons $5,25^2 = 5^2 + BC^2$. Soit $27,5625 = 25 + BC^2$. Pour isoler $BC^2$, on effectue une soustraction : $BC^2 = 27,5625 - 25 = 2,5625$. Enfin, pour trouver $BC$, on utilise la racine carrée : $BC = \sqrt{2,5625}$. La calculatrice nous donne une valeur exacte de $1,60078...$. L'énoncé demande d'arrondir au dixième, ce qui nous donne $BC \approx 1,6$ m.

Analyse de la Question 2 : Prise d'Initiatives et Modélisation

Cette seconde question est celle qui différencie les élèves maîtrisant la technique de ceux maîtrisant la réflexion. On nous présente une corde de $10,5$ m fixée entre deux poteaux distants de $10$ m. La question est : 'Melvin (1,55 m) peut-il passer sous la corde en la soulevant par le milieu ?'

Pour résoudre ce problème, il faut transformer la situation en figure géométrique. Si l'on soulève la corde par son milieu, celle-ci forme un triangle isocèle. En traçant la hauteur de ce triangle (la verticale passant par le milieu de la corde), on obtient deux triangles rectangles identiques. Analysons l'un de ces triangles :

• La base au sol est la moitié de la distance entre les poteaux : $10 / 2 = 5$ m.
• Le côté de la corde (le long de la pente) est la moitié de la longueur totale de la corde : $10,5 / 2 = 5,25$ m.
• La hauteur sous la corde correspond au côté vertical de ce triangle rectangle.

C'est ici que l'élève doit faire preuve d'esprit critique : les dimensions trouvées ($5$ m et $5,25$ m) sont exactement celles du triangle $ABC$ de la question 1 ! Par conséquent, la hauteur maximale sous la corde est la longueur $BC$ calculée précédemment, soit environ $1,6$ m.

La conclusion devient alors évidente : puisque $1,6 > 1,55$, Melvin peut passer sous la corde sans se baisser. La réussite de cette question dépend entièrement de la capacité à voir que la question 1 était une aide déguisée pour la question 2.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points lors de l'examen :

1. Confusion sur l'hypoténuse : Souvent, les élèves additionnent les carrés au lieu de soustraire. N'oubliez pas que l'hypoténuse est toujours le plus long côté. Si vous cherchez un côté de l'angle droit, vous devez faire une soustraction ($BC^2 = AC^2 - AB^2$).

2. Oubli des carrés : Une erreur fréquente est d'écrire $AC = AB + BC$. C'est une hérésie géométrique (inégalité triangulaire). Le théorème ne s'applique qu'aux surfaces des carrés construits sur les côtés.

3. Mauvaise lecture du milieu : Dans la question 2, certains élèves pourraient essayer d'utiliser la longueur totale de la corde ($10,5$) ou la distance totale ($10$) dans un seul triangle rectangle sans les diviser par 2.

4. L'arrondi prématuré : Il est conseillé de garder les valeurs exactes (comme $2,5625$) jusqu'au calcul final de la racine carrée pour éviter de cumuler des erreurs d'arrondi.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points (le barème 'Expert'), soignez votre présentation. Commencez toujours par citer les conditions d'application (triangle rectangle et nom du théorème). Encadrez vos résultats intermédiaires. Dans la question de prise d'initiative, même si vous ne trouvez pas la solution finale, dessinez un schéma ! Les examinateurs valorisent toute tentative de modélisation mathématique d'un problème réel. Mentionnez clairement votre comparaison finale : 'Comme $1,6$ m est supérieur à $1,55$ m, alors...' Cela montre que vous avez compris l'objectif final du problème.