Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue un excellent rappel pour un élève de Première Spécialité sur la décomposition de surfaces complexes et la modélisation de problèmes économiques simples. L'objectif est double : d'une part, calculer l'aire d'une façade irrégulière (un pentagone) en la décomposant en formes élémentaires (un rectangle et un triangle) ; d'autre part, appliquer une logique arithmétique pour déterminer un coût d'achat incluant des contraintes de conditionnement et un plan de financement fractionné. En spécialité mathématiques, la maîtrise de ces bases de géométrie plane est indispensable avant d'aborder des notions plus complexes comme le produit scalaire ou la géométrie repérée dans l'espace.
Points de vigilance et notions de cours
- Décomposition de surface : Il est crucial de repérer que la façade n'est pas une forme usuelle directe. Il faut diviser la figure par une ligne horizontale virtuelle passant par les points B et D pour obtenir un rectangle ABDE et un triangle BCD.
- Calcul de hauteur : La hauteur totale du hangar est de 9 m, tandis que la partie rectangulaire s'arrête à 6 m. La hauteur du triangle BCD est donc la différence : $9 - 6 = 3$ m.
- Gestion du conditionnement : Dans la vie réelle et en mathématiques appliquées, on ne peut pas acheter une fraction de pot de peinture. Si le calcul donne 2,34 pots, il est impératif d'arrondir à l'entier supérieur (3 pots).
- Calculs financiers : La gestion des fractions pour le paiement (2/5 d'acompte) demande de bien identifier le reste à payer (3/5) avant de diviser par le nombre de mensualités.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du montant minimum pour la peinture :
D'abord, calculons l'aire du rectangle ABDE : $Area_{rectangle} = Largeur \times Hauteur = 7,5 \times 6 = 45$ m².
Ensuite, calculons l'aire du triangle BCD. La base est de 7,5 m et la hauteur est $9 - 6 = 3$ m. $Area_{triangle} = \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{7,5 \times 3}{2} = 11,25$ m².
L'aire totale à peindre est donc : $45 + 11,25 = 56,25$ m².
Déterminons le nombre de pots nécessaires : sachant qu'un pot couvre 24 m², nous effectuons $56,25 / 24 \approx 2,34$. Agnès doit donc acheter 3 pots de peinture.
Le coût total est de $3 \times 103,45 = 310,35$ €.
2. Calcul des mensualités :
Le montant total de la facture est de 343,50 €. Agnès paie immédiatement les 2/5 : $343,50 \times \frac{2}{5} = 137,40$ €.
Le reste à payer est de $343,50 - 137,40 = 206,10$ €. Ce montant est divisé en trois mensualités : $206,10 / 3 = 68,70$ €.
Chaque mensualité s'élèvera donc à 68,70 €.