Analyse de l'énoncé
Cet exercice issu du sujet Amérique du Nord 2025 est un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Bien que les notions abordées trouvent leur origine au collège (DNB), elles constituent le socle de compétences indispensables pour réussir les chapitres plus complexes de la Spécialité Maths, tels que les probabilités conditionnelles ou l'étude des fonctions. L'exercice se décompose en cinq situations indépendantes balayant l'arithmétique, les probabilités, les évolutions en pourcentage, la géométrie de transformation (agrandissements) et les statistiques descriptives.
Points de vigilance et notions de cours
- Probabilités : Il faut identifier l'univers (40 boules) et l'événement favorable. La formule de Laplace (Cas favorables / Cas possibles) s'applique ici car le tirage est équiprobable.
- Arithmétique : La décomposition en facteurs premiers nécessite de connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 7 et 11.
- Agrandissement : C'est le piège classique. Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par k².
- Statistiques : Pour la médiane, il est impératif de classer les données par ordre croissant (déjà fait ici) et de déterminer l'effectif total pour trouver la position de la valeur centrale.
Guide de résolution détaillé
Situation 1 : L'urne contient 40 boules au total. Il y a 20 boules vertes. La probabilité est donc P(Verte) = 20 / 40 = 0,5 (ou 1/2).
Situation 2 : Pour 1050 : il finit par 0 (divisible par 10 = 2x5). 1050 = 105 x 10 = (5 x 21) x (2 x 5) = 5 x (3 x 7) x 2 x 5. On réordonne : 1050 = 2 x 3 x 5² x 7.
Situation 3 : Une augmentation de 14% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + (14/100) = 1,14. Prix final = 25 € x 1,14 = 28,50 €.
Situation 4 : Le coefficient k est 2,5. L'aire du polygone 2 = Aire du polygone 1 x k² = 7,5 x (2,5)² = 7,5 x 6,25 = 46,875 cm².
Situation 5 :
1. Moyenne = (152*2 + 157*4 + 160*2 + 162*5 + 165*2 + 170*4 + 174*6 + 180*5) / Total Effectif.
Effectif total = 2+4+2+5+2+4+6+5 = 30. Somme totale = 5028. Moyenne = 5028 / 30 = 167,6 cm.
2. Médiane : L'effectif total est 30 (pair). La médiane se situe entre la 15ème et la 16ème valeur. En cumulant les effectifs : 2+4+2+5+2 = 15. La 15ème valeur est 165, la 16ème est 170. Médiane = (165 + 170) / 2 = 167,5 cm.