Introduction : Un classique du Brevet sur les Fonctions et la Géométrie

L'exercice 6 de la session 2013 en Amérique du Sud est une épreuve fondamentale pour les élèves de 3ème. Il combine trois piliers du programme : les aires et périmètres, le calcul littéral et les fonctions. L'enjeu ici est de comprendre comment une contrainte géométrique fixe (un périmètre de 31 cm) influe sur une variable dynamique (l'aire). Cet exercice prépare parfaitement à la notion de modélisation mathématique.

Analyse Méthodique du Sujet

La première partie de l'exercice est une transition douce du numérique vers l'algébrique. On commence par des valeurs concrètes pour finir par l'expression d'une fonction.

1. Du Périmètre à l'Aire : La Modélisation

Question 1.a & 1.b : On nous donne un périmètre de $31$ cm. Rappelons que le périmètre $P$ d'un rectangle est $P = 2 \times (L + l)$. Par conséquent, la somme d'une longueur et d'une largeur (le demi-périmètre) est de $15,5$ cm ($31 / 2$). Si la longueur est de $10$ cm, la largeur est nécessairement $15,5 - 10 = 5,5$ cm. C'est un test de logique élémentaire pour vérifier si l'élève a compris la structure du rectangle.

Question 1.c : On passe au calcul littéral. Si $AB = x$, alors la largeur $BC$ s'exprime par la différence entre le demi-périmètre et $x$. On écrit donc : $BC = 15,5 - x$. Cette étape est cruciale : c'est ici que l'élève transforme un problème de géométrie en une expression algébrique.

Question 1.d : L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. On en déduit l'aire $\mathcal{A} = AB \times BC = x(15,5 - x)$. On retrouve ici la forme de la fonction $f$ proposée dans la question suivante.

2. Étude de la Fonction f(x)

La fonction $f(x) = x(15,5 - x)$ est une fonction polynôme du second degré. En 3ème, on l'étudie principalement par le biais du calcul d'images et d'antécédents.

L'Image et l'Antécédent : Ne pas se tromper de sens

Question 2.a : Calculer $f(4)$ consiste à remplacer $x$ par $4$ dans l'expression. $f(4) = 4 \times (15,5 - 4) = 4 \times 11,5 = 46$. L'image de $4$ est donc $46$. Géométriquement, cela signifie que si le côté $AB$ mesure $4$ cm, l'aire est de $46$ cm².

Question 2.b : Vérifier qu'un antécédent de $52,5$ est $5$. Il suffit de calculer $f(5)$ et de constater que l'on obtient bien $52,5$. $f(5) = 5 \times (15,5 - 5) = 5 \times 10,5 = 52,5$. La vérification est faite. Attention : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais ici on ne nous en demande qu'un seul.

3. Analyse Graphique : Interpréter la Courbe

Le graphique représente une parabole tournée vers le bas. C'est la signature des fonctions du type $-x^2 + bx$.

Lecture de l'Aire sur le Graphique

Question 3.a : Pour $x = 3$, on repère $3$ sur l'axe des abscisses (axe horizontal), on monte jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées. On trouve environ $37,5$ cm².

Question 3.b : Pour quelle valeur de $x$ l'aire vaut-elle $40$ cm² ? On trace une ligne horizontale à $y = 40$. On observe que la courbe est coupée en deux points. Les valeurs approchées de $x$ sont environ $3,3$ cm et $12,2$ cm. C'est une erreur classique d'oublier la deuxième valeur !

Question 3.c : L'aire maximale correspond au sommet de la courbe. Graphiquement, le point le plus haut se situe à $x = 7,75$. L'aire maximale est d'environ $60$ cm² (calcul précis : $7,75^2 = 60,0625$ cm²).

4. Le Cas Particulier du Carré

Question 4 : Lorsque $AB = 7,75$ cm, nous avons vu que $BC = 15,5 - 7,75 = 7,75$ cm. Puisque $AB = BC$, le rectangle $ABCD$ est un carré. C'est une propriété mathématique fondamentale : à périmètre constant, c'est le carré qui possède l'aire la plus grande.

Les Pièges à Éviter

• Les Unités : N'oubliez jamais de préciser 'cm' pour les longueurs et 'cm²' pour les aires. Les correcteurs du Brevet y sont très attentifs.
• La confusion Image/Antécédent : L'image est sur l'axe vertical (y), l'antécédent est sur l'axe horizontal (x).
• La précision graphique : Utilisez toujours votre règle pour faire les projections sur les axes afin d'être le plus précis possible dans vos valeurs approchées.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir tous les points, structurez vos réponses. Commencez par citer la formule utilisée (ex: 'L'aire d'un rectangle est $L \times l$'). Pour les lectures graphiques, faites une phrase explicite : 'Par lecture graphique, je repère le point d'ordonnée 40 et je lis ses deux abscisses correspondantes'. Une rédaction claire montre au correcteur que vous ne devinez pas, mais que vous raisonnez.