Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur les fondamentaux de la géométrie dans l'espace et de la trigonométrie. La problématique repose sur la construction d'une rampe d'accès modélisée par un prisme droit. Les compétences mobilisées incluent l'utilisation des relations trigonométriques dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore, et la maîtrise des formules de volume avec des conversions d'unités.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Trigonométrie : Savoir choisir entre le cosinus, le sinus ou la tangente selon les données de l'énoncé. Ici, pour calculer l'angle $\widehat{ABC}$, on connaît le côté opposé ($AC$) et l'hypoténuse ($AB$), l'utilisation du sinus est donc impérative.
• Unités et Conversions : C'est le piège classique. Les longueurs sont données en centimètres ($cm$) et le volume en mètres cubes ($m^3$). Il est crucial de tout convertir dans la même unité avant d'effectuer les calculs de volume.
• Volume d'un prisme : Se souvenir que $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur du prisme}$. La base est ici le triangle rectangle $ABC$.

Correction détaillée et Guide de résolution

Question 1 : Calcul de l'angle $\widehat{ABC}$
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, nous avons :
$\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB} = \frac{30}{124}$.
En utilisant la calculatrice (touche $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$), on obtient : $\widehat{ABC} \approx 14^\circ$ (arrondi au degré près).

Question 2 : Calcul de la longueur $BC$
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ :
$AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 124^2 = 30^2 + BC^2$.
$15376 = 900 + BC^2 \implies BC^2 = 14476$.
$BC = \sqrt{14476} \approx 120,31$ cm. La longueur $BC$ est donc bien d'environ $120$ cm.

Question 3 : Calcul du volume de béton
L'aire du triangle de base $ABC$ est : $\mathcal{A} = \frac{AC \times BC}{2} = \frac{30 \times 120}{2} = 1800$ cm².
La longueur de la rampe est $BE = 9$ m = $900$ cm.
Le volume $V = \mathcal{A} \times BE = 1800 \times 900 = 1\,620\,000$ cm³.
Sachant que $1$ m³ = $1\,000\,000$ cm³, le volume est de $1,62$ m³. Puisque $1,62 < 2$, les $2$ m³ de béton sont suffisants.

Question 4 : Recherche de la valeur de $BC$ pour $2$ m³
Soit $V = 2\,000\,000$ cm³. On garde $AC = 30$ et $BE = 900$.
$V = \frac{AC \times BC}{2} \times BE \implies 2\,000\,000 = 15 \times BC \times 900$.
$2\,000\,000 = 13\,500 \times BC \implies BC = \frac{2\,000\,000}{13\,500} \approx 148,15$ cm.
La longueur $BC$ serait d'environ $148$ cm.