Introduction aux notions clés du Brevet 2019
L'exercice 2 du sujet de mathématiques de 2019 (Métropole) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine trois piliers du programme : la trigonométrie, la gestion des proportions (aires) et la géométrie des triangles semblables (agrandissement-réduction). L'énoncé place l'élève dans une situation concrète : la construction d'un décor de théâtre par Joanna. Ce type d'exercice est particulièrement apprécié par les correcteurs car il demande à la fois de la rigueur calculatoire et une capacité à interpréter une figure géométrique complexe (ici composée de triangles superposés dans une plaque rectangulaire).
Analyse Méthodique de la Question 1 : La Trigonométrie
La première question demande de montrer que la longueur [AM] mesure environ 3,46 m. Pour réussir, la première étape est de bien identifier le triangle de travail : le triangle \(ADM\). L'énoncé précise qu'il est rectangle en \(A\). Nous connaissons le côté adjacent à l'angle \(\widehat{ADM}\) (le segment \([AD] = 2\) m) et nous cherchons le côté opposé (\([AM]\)).
Le réflexe doit être immédiat : utiliser la formule de la tangente. Rappelons le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA. Ici, \(\tan(\widehat{ADM}) = \frac{AM}{AD}\). En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient \(\tan(60^{\circ}) = \frac{AM}{2}\). Par un simple produit en croix, \(AM = 2 \times \tan(60^{\circ})\). À la calculatrice, \(\tan(60^{\circ})\) vaut \(\sqrt{3}\), ce qui donne environ \(2 \times 1,732 = 3,464\). L'arrondi au centième donne bien \(3,46\) m. Attention : assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degrés' avant d'effectuer le calcul.
Analyse de la Question 2 : Calcul d'Aires et Proportionnalité
Cette question évalue votre capacité à calculer une surface inutilisée. La plaque totale \(ABCD\) est un rectangle de \(4\) m sur \(2\) m, soit une aire totale de \(8\) m². La figure 2 montre que la partie non utilisée est représentée par la zone quadrillée à droite. Si \(AM \approx 3,46\) m et que la longueur totale \(AB = 4\) m, alors la largeur de la bande non utilisée est \(4 - 3,46 = 0,54\) m.
L'aire de cette zone rectangulaire est donc \(0,54 \times 2 = 1,08\) m². Pour trouver la proportion, on effectue le rapport : \(\frac{1,08}{8} = 0,135\). Exprimé en pourcentage, cela représente \(13,5\%\). La consigne demande une valeur au centième de la proportion (soit \(0,14\) si l'on arrondit le résultat final ou \(13,50\%\)). La difficulté ici réside dans la lecture de la figure : il faut comprendre que le rectangle quadrillé correspond à la chute de la plaque \(ABCD\) après la découpe de \(ADM\).
Analyse de la Question 3 : Démontrer des Triangles Semblables
La notion de triangles semblables est souvent redoutée. Pourtant, la méthode est simple : il suffit de prouver qu'ils ont les mêmes angles.
1. Dans le triangle \(ADM\) (rectangle en \(A\)), si \(\widehat{ADM} = 60^{\circ}\), alors \(\widehat{AMD} = 180 - (90 + 60) = 30^{\circ}\).
2. Pour le triangle \(PDN\), la figure montre qu'il est rectangle en \(P\). Puisque l'angle \(\widehat{PDM}\) est le même que \(\widehat{ADM}\) (ils sont confondus sur la demi-droite), l'angle \(\widehat{PDN} = 60^{\circ}\). Par déduction, \(\widehat{PND} = 30^{\circ}\).
3. Pour le triangle \(PNM\), on observe les angles complémentaires le long de la droite \((AM)\).
En démontrant que les trois triangles possèdent les angles \(90^{\circ}, 60^{\circ}\) et \(30^{\circ}\), on conclut qu'ils sont semblables par définition. C'est une question de pure logique angulaire où la rédaction doit être minutieuse.
Analyse de la Question 4 : Agrandissement et Réduction
Joanna souhaite que le coefficient d'agrandissement pour passer de \(PDN\) à \(AMD\) soit inférieur à \(1,5\). Le coefficient \(k\) se calcule par le rapport des côtés homologues. Prenons l'hypoténuse de chaque triangle. Dans \(ADM\), l'hypoténuse \(DM\) peut se calculer via le cosinus ou Pythagore : \(\cos(60^{\circ}) = \frac{AD}{DM} \Rightarrow 0,5 = \frac{2}{DM} \Rightarrow DM = 4\) m.
Dans le triangle \(PDN\), il nous faut une longueur. Si l'on utilise les propriétés des triangles semblables établies à la question précédente, on peut établir des rapports de proportionnalité. Si le rapport est supérieur à \(1,5\), le souhait de Joanna n'est pas réalisé. Le piège : Ne confondez pas le rapport des aires (\(k^2\)) avec le rapport des longueurs (\(k\)).
Conseils de Rédaction et Pièges à Éviter
Pour obtenir le maximum de points au Brevet :
1. Citez les théorèmes : Ne lancez pas de calculs sans dire 'Dans le triangle \(ADM\) rectangle en \(A\), j'utilise la trigonométrie'.
2. Unités et Arrondis : L'énoncé précise 'au centième près'. Ne donnez pas des valeurs entières ou au dixième, vous perdriez des points bêtement.
3. Schématisez : Si la figure semble complexe, n'hésitez pas à redessiner les triangles séparément sur votre brouillon pour mieux visualiser les angles homologues.