Introduction aux notions de Volumes et de Proportionnalité

Cet exercice issu du sujet du Brevet de Pondichéry 2016 est une excellente synthèse des compétences attendues en fin de collège. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul de volumes de prismes droits, la maîtrise des conversions d'unités (notamment le passage critique du mètre cube au litre) et l'utilisation de la proportionnalité dans un contexte de vie courante. Monsieur Joseph souhaite faciliter l'accès à sa piscine en construisant un escalier en béton. Ce problème concret permet de comprendre comment les mathématiques s'appliquent directement dans les métiers du bâtiment et de l'artisanat. Nous allons décomposer chaque étape pour assurer une compréhension totale des mécanismes de résolution.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le calcul de volume complexe

La première difficulté consiste à décrypter la figure géométrique. L'escalier est composé de deux prismes superposés. Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones superposables et dont les faces latérales sont des rectangles. Ici, la consigne précise que les bases sont des triangles rectangles. Pour démontrer que le volume total est de $1,26208$ m³, il faut calculer séparément le volume de chaque prisme puis les additionner.

Le volume d'un prisme se calcule avec la formule : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$. Pour un prisme à base triangulaire rectangle, l'aire de la base est $\frac{\text{côté}_1 \times \text{côté}_2}{2}$. Dans le schéma, nous devons identifier les dimensions réelles. Le grand prisme inférieur et le petit prisme supérieur ne sont pas de simples pavés droits, ce qui nécessite une lecture attentive des côtes fournies sur le plan (1,28 m, 1,36 m, 0,20 m, 3,40 m et 3,20 m). Le raisonnement doit être le suivant : identifier l'aire du grand triangle rectangle, la multiplier par la largeur de l'escalier, puis répéter l'opération pour la partie supérieure. Attention à ne pas oublier que la hauteur totale de l'escalier est la somme des hauteurs des deux prismes.

Analyse de la Question 2 : Proportionnalité et Dosage du Béton

Une fois le volume total de $1,26208$ m³ confirmé, l'élève doit faire le lien avec l'Information 2. Cette étape est cruciale car elle fait appel à la conversion d'unités. L'étiquette du sac de ciment donne un volume en Litres ($L$), tandis que notre résultat est en mètres cubes ($m^3$). Le rappel est donné : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$. Or, $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$, donc $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$. Le volume de l'escalier est donc de $1262,08$ Litres.

Le tableau indique que pour des 'Ouvrages en béton courant', un sac de 35 kg permet d'obtenir $100$ L de béton. Nous sommes ici dans une situation de proportionnalité pure. Si 1 sac = 100 L, combien de sacs pour 1262,08 L ? Le calcul est simple : $1262,08 / 100 = 12,6208$. Cependant, un magasin ne vend pas de fractions de sac. L'élève doit faire preuve de bon sens (compétence 'Raisonner') : il faut arrondir à l'unité supérieure. Il faudra donc 13 sacs de ciment pour réaliser l'ouvrage.

Analyse de la Question 3 : Quantité d'eau et conclusion

La dernière question découle directement de la précédente. Le tableau précise que pour chaque sac utilisé dans un 'Ouvrage en béton courant', il faut ajouter 17 L d'eau. Puisque nous avons déterminé qu'il faut 13 sacs, le calcul est : $13 \times 17$. Ce résultat final permet de clore l'exercice. Cette question permet de vérifier si l'élève a bien compris l'unité de référence (le sac de 35 kg) définie par le tableau de dosage.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le piège principal de cet exercice réside dans la confusion des unités. Beaucoup d'élèves oublient de multiplier par 1000 pour passer des $m^3$ aux Litres. Un autre piège est l'erreur d'arrondi dans la question 2 : arrondir à 12 sacs au lieu de 13 rendrait la construction impossible par manque de matériau. Enfin, il faut bien distinguer l'usage des données : le tableau propose trois dosages différents (Mortier, Béton, Murs), il faut impérativement choisir la ligne 'Ouvrages en béton courant' comme indiqué dans l'énoncé.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, il est indispensable de structurer sa réponse. Commencez par citer la formule du volume. Pour chaque calcul, écrivez l'opération en ligne avant de donner le résultat. Pour les conversions, faites apparaître la puissance de 10 ou le tableau de conversion. Enfin, concluez chaque question par une phrase simple incluant l'unité (Exemple : 'Le nombre de sacs nécessaires est de 13.'). La clarté de la rédaction est aussi importante que la justesse du résultat numérique aux yeux du correcteur.