Introduction aux notions du Brevet 2021

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges (série générale) en 2021 pour la zone Asie a débuté par un exercice de type Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que les questions de QCM ne demandent qu'une seule réponse, le sujet précise ici une contrainte majeure : toutes les réponses doivent être justifiées. Cet exercice balaye un spectre large du programme de 3ème : l'arithmétique avec les diviseurs, l'analyse avec les fonctions, l'outil numérique avec le tableur, l'algèbre avec les équations du second degré et les puissances, et enfin la proportionnalité avec les ratios.

Analyse détaillée de l'Exercice 1

Question 1 : Arithmétique et Diviseurs

On nous demande de trouver un diviseur de 126 parmi trois propositions. Rappelons qu'un nombre $d$ est un diviseur de $n$ si le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$ est nul.

• Réponse A (252) : C'est un multiple de 126 ($126 \times 2 = 252$), pas un diviseur.
• Réponse B (20) : 126 ne finit pas par 0, il n'est pas divisible par 10, encore moins par 20.
• Réponse C (6) : On vérifie les critères de divisibilité. 126 est pair (divisible par 2) et la somme de ses chiffres ($1+2+6=9$) est divisible par 3. Il est donc divisible par $2 \times 3 = 6$. En effet, $126 = 6 \times 21$.

Question 2 : Calcul d'image et Fonctions

La fonction est définie par $f(x) = x^2 - 2$. Calculons les différentes propositions :

• Pour l'image de 2 : $f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. La réponse A est fausse.
• Pour $f(-2)$ : $f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. La réponse B est fausse car elle propose 0.
• Pour $f(0)$ : $f(0) = 0^2 - 2 = -2$. La réponse C est correcte.

Question 3 : Maîtrise du Tableur

C'est une question classique qui mélange calcul littéral et compréhension des cellules. La formule en A2 est $=-5*A1*A1 + 2*A1 - 14$. En l'étirant vers la droite en B2, la référence $A1$ devient $B1$. La formule en B2 est donc : $=-5*B1*B1 + 2*B1 - 14$. D'après le tableau, la valeur dans la cellule B1 est $-3$. Remplaçons : $B2 = -5 \times (-3)^2 + 2 \times (-3) - 14 = -5 \times 9 - 6 - 14 = -45 - 20 = -65$. La réponse correcte est la A.

Question 4 : Résolution d'Équation $x^2 = k$

L'équation est $x^2 = 16$. C'est une équation du type $x^2 = a$. Puisque $16 > 0$, l'équation admet deux solutions : $\sqrt{16}$ et $-\sqrt{16}$, soit $4$ et $-4$. Attention, beaucoup d'élèves oublient la solution négative ! La réponse correcte est la B.

Question 5 : Propriétés des Puissances

L'expression est $2 \times 2^{400}$. Rappelons que $2 = 2^1$. La règle de calcul sur les puissances dit que $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Ainsi, $2^1 \times 2^{400} = 2^{1 + 400} = 2^{401}$. C'est un piège classique où l'on pourrait être tenté de multiplier les bases (donnant 4) ou les exposants. La réponse correcte est la A.

Question 6 : Ratios et Proportionnalité

Le ratio largeur:hauteur est de $16:9$. Cela signifie que $\frac{\text{largeur}}{\text{hauteur}} = \frac{16}{9}$. On sait que la hauteur est de $54$ cm. On a donc l'égalité : $\frac{L}{54} = \frac{16}{9}$. Pour trouver $L$, on effectue un produit en croix ou on remarque que $54 = 9 \times 6$. Donc $L = 16 \times 6 = 96$ cm. La réponse correcte est la B.

Les Pièges à Éviter

Dans ce sujet, le piège principal réside dans la gestion des signes négatifs, particulièrement dans la question du tableur et celle de l'équation. Pour le tableur, n'oubliez pas que $(-3)^2$ devient positif ($9$), mais reste multiplié par $-5$. Pour l'équation $x^2=16$, ne vous précipitez pas sur la valeur positive uniquement.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, ne vous contentez pas d'entourer la lettre. Écrivez : "Pour la question 2, je calcule l'image de 0 par la fonction $f$ : $f(0) = 0^2 - 2 = -2$. La réponse exacte est donc la C". Une justification claire montre au correcteur que vous n'avez pas répondu au hasard.