Introduction aux notions du Brevet 2023

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet 2023 en Polynésie est une épreuve de type Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement exigeant car, bien qu'il propose des réponses, il nécessite une rigueur mathématique absolue pour ne pas tomber dans les pièges classiques. Cet exercice balaie quatre thématiques majeures du programme de troisième : les évolutions en pourcentage, la configuration de Thalès dans le plan, et le calcul de probabilités à partir de tableaux à double entrée. L'objectif ici est de tester la polyvalence des élèves et leur capacité à mobiliser rapidement des outils géométriques et numériques variés.

Analyse Méthodique : Question 1 - Les Pourcentages

La première question porte sur une augmentation de 9 %. En mathématiques, une évolution en pourcentage se traduit systématiquement par l'application d'un coefficient multiplicateur. Pour augmenter une valeur de $t \%$, on multiplie cette valeur par $(1 + \frac{t}{100})$. Ici, avec $t = 9$, le calcul devient $(1 + \frac{9}{100}) = 1 + 0,09 = 1,09$. Il est crucial de ne pas confondre l'augmentation avec l'ajout direct du chiffre (ne pas faire $+9$ ou $+0,09$) mais bien une multiplication. C'est un point de passage obligé pour tout candidat au Brevet des collèges souhaitant valider ses compétences en gestion de données.

Analyse Méthodique : Question 2 - Théorème de Thalès et Géométrie

La deuxième question nous place dans une configuration de Thalès classique, dite 'en triangles emboîtés'. Nous avons deux droites sécantes $(AB)$ et $(AC)$ en le point $A$. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. Pour calculer la longueur $BC$, il faut d'abord identifier les rapports de proportionnalité. Selon le théorème de Thalès, nous avons l'égalité suivante : $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$.

Un piège fréquent ici réside dans la détermination de la longueur $AC$. On nous donne $AE = 2$ cm et $EC = 5$ cm. Puisque $E$ appartient au segment $[AC]$, alors $AC = AE + EC = 2 + 5 = 7$ cm. En utilisant le rapport $\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$, nous obtenons $\frac{2}{7} = \frac{3}{BC}$. Par un produit en croix, nous trouvons $BC = \frac{3 \times 7}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$ cm. La précision dans la lecture des segments est la clé de la réussite pour ce type d'exercice de géométrie plane.

Analyse Méthodique : Questions 3 et 4 - Probabilités et Tableaux

Les questions 3 et 4 reposent sur l'exploitation d'un tableau à double entrée concernant les langues vivantes (LV2) des élèves de 5ème. La première étape, souvent omise par les élèves, est de calculer l'effectif total. Le total des élèves est de $10 + 43 + 26 + 7 + 42 + 32 = 160$ élèves.

Pour la question 3, on cherche la probabilité qu'un élève choisi au hasard étudie l'italien. Le nombre d'élèves pratiquant l'italien est la somme des filles et des garçons : $26 + 32 = 58$. La probabilité est donc le ratio $\frac{\text{Nombre d'élèves en italien}}{\text{Nombre total d'élèves}} = \frac{58}{160}$.

La question 4 introduit une condition supplémentaire : l'élève doit être une fille ET ne pas faire d'allemand. En regardant la ligne 'Filles', on exclut les 10 filles faisant de l'allemand. Il reste donc les filles faisant espagnol (43) et italien (26). Le total partiel est $43 + 26 = 69$. Puisque l'univers de référence reste l'ensemble des élèves du collège (160), la probabilité est de $\frac{69}{160}$. Attention à ne pas se tromper de dénominateur : on ne divise pas par le nombre de filles, mais par le total général car le tirage s'effectue 'parmi tous les élèves'.

Les Pièges à Éviter

Le QCM est par nature piégeux. Voici les erreurs les plus courantes relevées lors des corrections : 1. Sur les pourcentages : Additionner le taux au lieu de multiplier par le coefficient. 2. Sur Thalès : Utiliser le segment $EC$ (5 cm) au lieu du segment total $AC$ (7 cm). Le théorème de Thalès compare toujours les côtés du petit triangle avec ceux du grand triangle partant du même sommet. 3. Sur les probabilités : Mal lire l'énoncé. Si l'on demande 'parmi les filles', le dénominateur change. Ici, c'est 'parmi tous les élèves', donc le dénominateur reste 160. L'oubli de l'addition des effectifs partiels est aussi une cause d'erreur fréquente.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Bien qu'il s'agisse d'un QCM, la consigne précise de justifier la réponse. Pour obtenir tous les points, l'élève doit : - Pour le pourcentage : Écrire le calcul du coefficient multiplicateur. - Pour Thalès : Citer le nom du théorème et écrire l'égalité des trois rapports avant de faire le calcul numérique. - Pour les probabilités : Montrer le calcul de l'effectif total et l'addition des cas favorables avant de donner la fraction finale.

Une rédaction claire et structurée permet au correcteur de comprendre votre cheminement, même si une petite erreur de calcul s'est glissée dans le résultat final. En mathématiques, la méthode est aussi importante que le résultat !