Analyse de l'exercice et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base essentielle pour un élève de Première Spécialité. En effet, la maîtrise de l'arithmétique (divisibilité, nombres premiers) est un prérequis indispensable pour aborder des chapitres plus complexes comme le dénombrement en Probabilités ou la logique algorithmique en Python. L'exercice se divise en deux parties : une approche théorique des nombres et une application pratique à la gestion de stocks et au calcul commercial.
1. Décomposition en facteurs premiers et divisibilité
La première partie demande de manipuler la structure des entiers. Pour justifier que 330 n'est pas premier, il suffit d'observer son chiffre des unités : 0. Cela implique qu'il est divisible par 2 et par 5. Pour la décomposition, on procède par divisions successives :
- 330 = 33 × 10
- 33 = 3 × 11
- 10 = 2 × 5
D'où
330 = 2 × 3 × 5 × 11.
Pour prouver que 165 divise 330, on calcule le quotient : 330 / 165 = 2. Le résultat étant un entier, la division est exacte. À l'inverse, pour 500, on utilise la décomposition fournie (2² × 5³). Comme 165 contient les facteurs 3 et 11 qui ne figurent pas dans la décomposition de 500, 165 ne peut pas diviser 500.
2. Application pratique : Distribution et Division Euclidienne
Dans la situation des biscuits, on cherche à répartir 330 biscuits aux noix dans 165 boîtes. Le calcul 330 / 165 donne 2 biscuits aux noix par boîte. Pour les biscuits au chocolat (500 unités), on effectue une division euclidienne : 500 = (165 × 3) + 5. Cela signifie que l'on peut mettre 3 biscuits au chocolat par boîte et qu'il en reste 5 non distribués.
3. Calcul commercial et Pourcentages
La dernière question porte sur une réduction de prix, une notion souvent modélisée par les suites géométriques en Première.
- Prix initial pour 12 boîtes : 12 × 3 650 = 43 800 francs.
- Calcul de la réduction de 5% : 43 800 × (5/100) = 2 190 francs.
- Prix final : 43 800 - 2 190 = 41 610 francs.
Une méthode plus rapide en Spécialité consiste à utiliser le coefficient multiplicateur : 43 800 × (1 - 0,05) = 43 800 × 0,95 = 41 610 francs.