Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice du Brevet 2025 (Zone Asie) est un modèle d'interdisciplinarité au sein des mathématiques de 3ème. Il combine habilement la géométrie plane (périmètres du carré et du rectangle), le calcul littéral (manipulation d'expressions avec la variable $x$), le fonctionnement d'un tableur et la résolution d'équations. L'objectif est de passer d'une situation concrète à une modélisation algébrique pour résoudre un problème d'optimisation.

Analyse Méthodique de l'exercice

Partie A : Manipulation numérique et construction

Dans cette première phase, la valeur de la variable est fixée à $x = 1,5$. Il s'agit d'une mise en jambe pour vérifier la compréhension des formules de base.

• Question 1 (Périmètre du carré) : Le côté du carré est défini par l'expression $2x$. Pour $x = 1,5$, le côté mesure $2 \times 1,5 = 3$ cm. La formule du périmètre d'un carré étant $P = 4 \times \text{côté}$, on obtient $4 \times 3 = 12$ cm.
• Question 2 (Calcul de longueur) : La longueur AB du rectangle est donnée par $16 - 2x$. En substituant $x$, on calcule $16 - 2 \times 1,5 = 16 - 3 = 13$ cm.
• Question 3 (Géométrie) : La construction doit être précise. Le rectangle ABCD a pour dimensions $13$ cm sur $1,5$ cm. Attention à l'utilisation de l'équerre pour les angles droits.
• Question 4 (Comparaison) : Le périmètre du rectangle est $2 \times (L + l) = 2 \times (13 + 1,5) = 2 \times 14,5 = 29$ cm. Comme $29 \neq 12$, les périmètres ne sont pas égaux pour cette valeur.

Partie B : Vers l'abstraction et l'automatisation

L'usage du tableur

Le tableur est un outil puissant pour observer des variations. Dans la cellule B2, pour calculer le périmètre du carré (qui est $4 \times 2x = 8x$), la formule à saisir est =8*B1. En l'étirant, le logiciel remplace B1 par C1, D1, etc. Le tableau montre qu'entre $x=3$ et $x=4$, les valeurs des périmètres se croisent. À $x=3$, le carré est plus petit ($24 < 26$). À $x=4$, il est plus grand ($32 > 24$). Cela indique que la solution se trouve entre 3 et 4.

Démonstration littérale et résolution d'équation

Pour prouver que le périmètre du rectangle est $-2x + 32$, on utilise la formule générale : $P = 2 \times (AD + AB)$. En remplaçant par les expressions littérales : $P = 2 \times (x + 16 - 2x) = 2 \times (16 - x) = 32 - 2x$. C'est une étape cruciale de calcul littéral où la réduction de l'expression entre parenthèses est prioritaire.

Enfin, pour trouver l'égalité, on pose l'équation : $8x = 32 - 2x$. En isolant les termes en $x$, on obtient $10x = 32$, soit $x = 3,2$. Cette valeur exacte n'était pas dans le tableau, ce qui justifie l'intérêt de l'algèbre sur l'expérimentation numérique.

Les Pièges à éviter

1. L'oubli du facteur 2 : Dans le périmètre du rectangle, l'erreur classique est de faire $L + l$ sans multiplier par 2.
2. La priorité opératoire : Dans $16 - 2x$, n'essayez jamais de soustraire 2 de 16 avant de multiplier par $x$.
3. Confusion Aire/Périmètre : L'exercice porte uniquement sur les périmètres. Ne multipliez pas les côtés entre eux (calcul de l'aire).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours la formule utilisée (ex: "On sait que le périmètre d'un carré est...").
- Présentez vos étapes de résolution d'équation une par une.
- N'oubliez pas l'unité (cm) dans vos phrases de conclusion, même si elle n'est pas requise dans les calculs intermédiaires.