Introduction aux notions clés du sujet 2021

L'exercice 5 du sujet de Mathématiques du Brevet Métropole 2021 est un classique incontournable de la géométrie plane et du calcul numérique. Il mobilise trois compétences majeures du programme de 3ème : la gestion des pourcentages dans un contexte commercial, l'application du théorème de Pythagore pour résoudre un problème de la vie courante (encombrement d'un meuble), et enfin l'utilisation du théorème de Thalès pour déterminer des longueurs au sein de configurations de triangles emboîtés. Ce type d'exercice est particulièrement apprécié des correcteurs car il demande à l'élève de passer d'un schéma concret à une modélisation mathématique rigoureuse.

Analyse Question 1 : Maîtriser les Pourcentages

La première question est une mise en jambe sur les calculs de proportionnalité. On nous donne un prix de départ de $139,90$ € et une réduction de $10\%$. Le piège classique ici serait de calculer le nouveau prix alors que la consigne demande explicitement le montant de la réduction. Pour réussir, l'élève doit se souvenir que calculer $10\%$ revient à diviser par 10 ou à multiplier par $0,10$. Le calcul est simple : $139,90 \times \frac{10}{100} = 13,99$. La réduction s'élève donc à $13,99$ €. La rédaction doit être claire et l'unité (€) ne doit jamais être oubliée.

Analyse Question 2 : Le Théorème de Pythagore en situation réelle

C'est le cœur de l'exercice. La problématique est la suivante : une étagère de $2,25$ m de haut et $0,80$ m de large peut-elle être redressée dans une pièce de $2,40$ m de plafond sans heurter ce dernier ?
Le raisonnement : Lors du redressement, le point le plus haut de l'étagère décrit un arc de cercle. La distance maximale entre le sol et le sommet du meuble correspond à la diagonale du rectangle (la face latérale de l'étagère).
Pour modéliser cela, on utilise le triangle rectangle formé par la hauteur et la largeur. Soit $BC = 2,25$ m et $AB = 0,80$ m. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 0,80^2 + 2,25^2 = 0,64 + 5,0625 = 5,7025$.
En prenant la racine carrée, on trouve $AC = \sqrt{5,7025} \approx 2,388$ m.
Conclusion : Puisque $2,388 < 2,40$, la diagonale est inférieure à la hauteur sous plafond. L'étagère passera donc sans toucher le plafond. L'élève doit ici bien expliquer que c'est la longueur de la diagonale qui détermine la possibilité de l'opération.

Analyse Question 3 : Thalès et la proportionnalité

Dans la dernière partie, on installe des tablettes. Le schéma présente des segments parallèles ([DE], [FG], etc.) à la base, ce qui évoque immédiatement le théorème de Thalès.
Question 3.a : On nous dit que les tablettes sont régulièrement espacées. Le meuble mesure $2,25$ m ($B'C'$) et il y a 5 espaces égaux créés par les 4 tablettes. La longueur $C'E$ est donc de $2,25 / 5 = 0,45$ m.
Question 3.b et 3.c : Pour calculer la longueur $DE$, on utilise la configuration de Thalès dans le triangle $AB'C'$. Les droites $(DE)$ et $(AB')$ sont parallèles. On a donc l'égalité des rapports : $\frac{C'E}{C'B'} = \frac{DE}{AB'}$.
En remplaçant par les valeurs : $\frac{0,45}{2,25} = \frac{DE}{0,80}$.
D'où $DE = (0,45 \times 0,80) / 2,25 = 0,16$ m.
Pour la tablette $[HI]$, le raisonnement est identique, mais la distance $C'H$ correspond à 3 intervalles, soit $3 \times 0,45 = 1,35$ m. Le rapport devient $\frac{1,35}{2,25} = \frac{HI}{0,80}$, ce qui donne $HI = 0,48$ m.

Les Pièges à éviter

1. L'oubli des unités : Dans tout l'exercice, les mesures sont en mètres et les prix en euros. Un résultat sans unité est souvent sanctionné par les correcteurs.
2. La précision des arrondis : Pour Pythagore, ne pas arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires. Gardez la valeur exacte sous la racine jusqu'au test final.
3. La rédaction de Thalès : N'oubliez jamais de citer les conditions d'application : les points alignés et surtout les droites parallèles.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en trois étapes : 1. Ce que je sais (les données et les propriétés), 2. Le calcul, 3. La conclusion (une phrase répondant précisément à la question). Par exemple, pour la question 2, affirmez clairement : "Comme la diagonale de l'étagère est inférieure à la hauteur de la pièce, l'étagère ne touchera pas le plafond".