Analyse de l'énoncé : Modélisation d'une situation concrète
Cet exercice propose une application directe des mathématiques au monde réel, en l'occurrence la rénovation d'une piscine. Bien que le contexte soit celui d'un examen de fin de collège (DNB), les compétences de modélisation géométrique, de calcul de surfaces et de gestion des contraintes logiques sont des prérequis essentiels pour la classe de Première Spécialité. L'élève doit ici décomposer un volume complexe (un parallélépipède rectangle ouvert) en ses faces élémentaires pour déterminer une aire totale, puis appliquer des ratios économiques.
Points de vigilance : Notions de cours et erreurs classiques
Pour résoudre ce problème sans erreur, plusieurs points cruciaux doivent être identifiés dès la lecture des documents :
- La géométrie de la piscine : Il s'agit d'un bassin rectangulaire. Les surfaces à peindre incluent le fond et les quatre parois verticales. Il est impératif de ne pas inclure le 'plafond' (la surface de l'eau).
- La contrainte des deux couches : Le document stipule qu'on doit appliquer deux couches de peinture. La surface totale calculée doit donc être doublée avant de calculer le nombre de pots nécessaires.
- L'arrondi logistique : Dans un problème de budget réel, on ne peut pas acheter une fraction de pot de peinture. Le résultat de la division (Surface totale / Rendement par pot) doit systématiquement être arrondi à l'entier supérieur.
Guide de résolution détaillé et correction
La résolution se déroule en quatre étapes majeures :
1. Calcul de la surface intérieure (1 couche)
La surface à peindre correspond à l'aire latérale plus l'aire du fond :
- Aire du fond : $L \times l = 8 \times 4 = 32 \text{ m}^2$.
- Aire des deux grandes parois : $2 \times (L \times h) = 2 \times (8 \times 1,70) = 27,2 \text{ m}^2$.
- Aire des deux petites parois : $2 \times (l \times h) = 2 \times (4 \times 1,70) = 13,6 \text{ m}^2$.
- Surface totale pour une couche : $32 + 27,2 + 13,6 = 72,8 \text{ m}^2$.
2. Prise en compte de la deuxième couche
Pour deux couches, la surface totale à couvrir est de : $72,8 \times 2 = 145,6 \text{ m}^2$.
3. Détermination du nombre de pots de peinture
Chaque pot couvre $35 \text{ m}^2$. Calculons le nombre nécessaire : $n = 145,6 / 35 \approx 4,16$. Puisqu'il est impossible d'acheter $0,16$ pot, l'artisan doit acheter 5 pots pour terminer le travail.
4. Calcul du budget final
Le prix unitaire d'un pot est de $12\,000$ F. Le budget total est donc : $5 \times 12\,000 = 60\,000$ F. Ce résultat montre l'importance de la précision dans les calculs intermédiaires pour ne pas sous-estimer le coût réel des travaux.