Introduction aux Programmes de Calcul et à l'Algorithmique

Cet exercice issu du Brevet de Mathématiques 2021 de la zone Métropole est un classique incontournable du programme de 3ème. Il combine trois piliers fondamentaux du socle commun : le calcul numérique, l'algorithmique avec Scratch et le calcul littéral (notamment la factorisation et les équations-produits). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un énoncé en langage naturel à une exécution numérique, puis à une modélisation informatique, et enfin à une résolution algébrique complexe.

Analyse Méthodique : Du Calcul Numérique à l'Algorithme

Dans la première partie, on demande de vérifier des résultats numériques. C'est une étape cruciale pour s'approprier le programme. Pour le nombre 4, le calcul se décompose ainsi : $4^{2} = 16$, puis $16 + (3 \times 4) = 28$, et enfin $28 - 10 = 18$. La rigueur est de mise. Pour la question 2, l'application au nombre $-3$ nécessite une vigilance particulière sur les signes. Rappelons que le carré d'un nombre négatif est toujours positif : $(-3)^{2} = 9$. Le triple de $-3$ est $-9$. On obtient donc $9 + (-9) - 10 = -10$.

Décryptage du Script Scratch (Lignes 5 et 6)

La question 3 évalue votre compréhension de la logique de programmation. Le script utilise des variables pour stocker les étapes. La ligne 4 calcule le carré : $y$ prend la valeur $x \times x$. La ligne 5 doit correspondre à l'étape 'Ajouter le triple du nombre de départ'. On a déjà $y$ (le carré), il faut donc lui ajouter $3 \times x$. La ligne 5 sera donc : 'mettre z à y + 3 * x'. La ligne 6 finalise le programme en soustrayant 10. La variable 'Résultat' doit donc recevoir la valeur 'z - 10'. La maîtrise des opérateurs dans Scratch est essentielle car elle préfigure la structure des fonctions que vous étudierez au lycée.

Modélisation Littérale et Équations-Produits

La question 4 bascule dans l'abstraction. Si $x$ est le nombre de départ, le résultat final est l'expression $f(x) = x^{2} + 3x - 10$. C'est une expression du second degré. Pour vérifier que cette expression est égale à $(x + 5)(x - 2)$, la méthode la plus simple est le développement. En utilisant la double distributivité : $(x + 5)(x - 2) = x \times x - x \times 2 + 5 \times x - 5 \times 2 = x^{2} - 2x + 5x - 10 = x^{2} + 3x - 10$. L'égalité est confirmée. Enfin, pour trouver quel nombre donne 0, on résout l'équation $(x + 5)(x - 2) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On obtient deux solutions : $x + 5 = 0 \implies x = -5$ et $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Les Pièges à Éviter

Attention aux parenthèses lors du calcul de carrés de nombres négatifs sur votre calculatrice. Sans parenthèses, $-3^{2}$ donnera $-9$, ce qui faussera tout l'exercice. Concernant Scratch, ne confondez pas les variables : $x$ est la réponse utilisateur, $y$ et $z$ sont des étapes intermédiaires. Dans la partie algébrique, ne tentez pas de résoudre $x^{2} + 3x - 10 = 0$ directement (ce n'est pas du niveau 3ème) ; utilisez toujours la forme factorisée fournie par l'énoncé pour appliquer la règle du produit nul.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de calcul. Pour la question Scratch, recopiez clairement les blocs complétés. Pour la dernière question, citez explicitement la propriété : 'Si un produit de deux facteurs est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul'. Cette rigueur montre au correcteur que vous ne devinez pas les réponses mais que vous maîtrisez les théorèmes fondamentaux.