Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet officiel de 2019, constitue un excellent support de révision pour la géométrie plane, une base fondamentale avant d'aborder la Géométrie repérée en classe de Première Spécialité. Le problème nous place dans un contexte concret de rallye VTT où le parcours est modélisé par des segments. L'objectif est de mobiliser des outils classiques (Pythagore, Thalès, vitesse) pour résoudre des problèmes de calcul de longueurs et de durées. L'analyse repose sur l'identification correcte des triangles rectangles et des configurations de parallélisme cachées dans la figure.
Points de vigilance et notions de cours
Pour traiter cet exercice avec succès, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- Le Théorème de Pythagore : Il est l'outil de référence pour calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît les deux autres. Attention à bien identifier l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).
- La Configuration Papillon de Thalès : Ici, les points B, D, F d'une part, et C, D, E d'autre part, sont alignés. Avec le parallélisme des droites (BC) et (EF), on peut établir l'égalité des rapports de proportionnalité.
- Propriétés des droites : Savoir démontrer que deux droites sont parallèles est crucial. La règle utilisée ici est qu'une perpendiculaire commune à deux droites implique leur parallélisme.
- Calcul de vitesse : La relation $d = v \times t$ est simple, mais son application demande une grande vigilance lors de la conversion des heures décimales en minutes et secondes.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la longueur BD : On se place dans le triangle BCD. L'énoncé précise qu'il est rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité : $BD^2 = BC^2 + CD^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies (BC = 1,5 km et CD = 2 km), on obtient $BD^2 = 1,5^2 + 2^2 = 2,25 + 4 = 6,25$. La longueur BD est donc la racine carrée de 6,25, soit $BD = 2,5$ km.
2. Justification du parallélisme : On sait que les points A, B et C sont alignés. Le triangle BCD est rectangle en C, donc (BC) est perpendiculaire à (CE). De même, le triangle DEF est rectangle en E, donc (EF) est perpendiculaire à (CE). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. On en conclut que (BC) // (EF).
3. Calcul de la longueur DF : Les droites (BF) et (CE) sont sécantes en D. Comme les droites (BC) et (EF) sont parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès dans sa configuration dite 'papillon'. Les rapports suivants sont égaux : $DE/DC = DF/DB = EF/BC$. En utilisant $DE/DC = DF/DB$, nous avons $5/2 = DF/2,5$. Par un produit en croix, on trouve $DF = (5 \times 2,5) / 2 = 12,5 / 2 = 6,25$ km.
4. Longueur totale du parcours : Le trajet est composé des segments [AB], [BD], [DF] et [FG]. La somme est : $7 + 2,5 + 6,25 + 3,5 = 19,25$ km.
5. Temps de trajet : Pour le segment AB de 7 km à une vitesse de 16 km/h, le temps $t$ est $7/16 = 0,4375$ heure. Pour convertir en minutes : $0,4375 \times 60 = 26,25$ minutes. Pour les secondes : $0,25 \times 60 = 15$ secondes. Le temps total est donc de 26 min 15 s.