Analyse de l'énoncé

Cet exercice se concentre sur la manipulation d'expressions algébriques de la forme $ax^2 + bx + c$, fondamentales pour le chapitre sur les polynômes du second degré. L'objectif est de vérifier la capacité à substituer des valeurs, à développer une expression littérale et à résoudre une équation où les termes de degré supérieur se simplifient.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Priorités opératoires : Lors du calcul numérique pour $x=4$, il est crucial de traiter la puissance avant la multiplication par 5.
• Distributivité simple : Le développement de $-3(2x+1)$ demande une attention particulière au signe négatif. L'erreur classique consiste à oublier de distribuer le signe moins au second terme de la parenthèse.
• Équations de degré 2 apparent : Bien que l'équation comporte des termes en $x^2$, on remarque qu'ils sont présents à l'identique dans chaque membre, ce qui permet de se ramener à une équation du premier degré.

Guide de résolution et correction

1. Calcul pour $x = 4$ :
On remplace $x$ par sa valeur : $5(4)^2 - 3(2 \times 4 + 1) = 5(16) - 3(8+1) = 80 - 3(9) = 80 - 27 = 53$.

2. Démonstration de l'égalité :
Développons le membre de gauche : $5x^2 - 3(2x + 1) = 5x^2 - (3 \times 2x + 3 \times 1) = 5x^2 - 6x - 3$. L'égalité est démontrée pour tout réel $x$.

3. Résolution de l'équation :
On utilise la forme développée : $5x^2 - 6x - 3 = 5x^2 - 4x + 1$.
En soustrayant $5x^2$ de chaque côté, l'équation devient : $-6x - 3 = -4x + 1$.
On regroupe les termes en $x$ : $-6x + 4x = 1 + 3$, soit $-2x = 4$.
On conclut : $x = 4 / (-2) = -2$. La solution est $x = -2$.