Introduction aux transformations et au pavage du Brevet 2018

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet Pondichéry 2018 porte sur des notions fondamentales de géométrie plane : les transformations géométriques (ici la translation) et l'agrandissement-réduction (spécifiquement l'impact sur les aires). Le support choisi est un pavage de type "pied-de-coq", un classique des motifs textiles, ce qui permet d'allier mathématiques concrètes et observation visuelle.

Analyse Méthodique de la Question 1 : La Translation

La première question demande d'identifier la transformation permettant de passer du motif 1 au motif 2 sur la figure 1. En observant le pavage, on constate que le motif 2 est une reproduction exacte du motif 1, mais déplacé sans rotation, sans retournement et sans changement de taille. Dans le programme de 3ème, ce mouvement est défini comme une translation.

Raisonnement : Pour justifier, il faut observer le vecteur de déplacement. En partant d'un point spécifique du motif 1 (par exemple, le centre du petit cercle blanc marqué '1'), on effectue un glissement vers la droite et vers le haut pour atteindre le point correspondant sur le motif 2. On dira que le motif 2 est l'image du motif 1 par la translation qui transforme le point 1 en point 2.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Calcul d'Aire et Unité

Ici, l'énoncé fixe la longueur $AB = 1$ cm sur la figure 2. Le motif est tracé sur un quadrillage régulier. Pour déterminer l'aire totale du polygone $ABCDEFGHIJKLMN$, la méthode la plus efficace pour un élève de 3ème consiste à compter les unités d'aire ou à décomposer la figure en formes simples (carrés et triangles rectangles).

Si $AB = 1$ cm, alors chaque petit carré du quadrillage a une aire de $1 \text{ cm}^2$ ($1 \times 1$). En décomposant le motif pied-de-coq, on peut reformer des carrés pleins en déplaçant les parties triangulaires. Par exemple, le triangle $ABC$ est un demi-carré. En comptant soigneusement les carreaux entiers et en assemblant les moitiés, on trouve que le motif occupe une surface précise de $8$ carreaux. L'aire est donc de $8 \text{ cm}^2$.

Analyse Méthodique de la Question 3 : La Règle des Aires ($k^2$)

Marie affirme que si l'on divise les longueurs par 2, l'aire est aussi divisée par 2. C'est l'un des pièges les plus fréquents au Brevet. La réponse est négative : Marie a tort.

Explication mathématique : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, mais les aires sont multipliées par $k^2$. Ici, Marie effectue une réduction de rapport $k = 0,5$ (ou $1/2$). L'aire résultante sera donc multipliée par $(1/2)^2 = 1/4$. Cela signifie que l'aire ne sera pas divisée par 2, mais par 4. Si l'aire initiale était de $8 \text{ cm}^2$, la nouvelle aire sera de $8 \times 0,25 = 2 \text{ cm}^2$.

Les Pièges à Éviter

Lors de cet exercice, plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :

• Confondre translation et rotation : assure-toi que le motif ne "tourne" pas.
• Oublier l'unité : une aire s'exprime en $\text{cm}^2$ si les longueurs sont en cm.
• Appliquer le coefficient $k$ linéairement : retiens bien que pour les volumes, c'est $k^3$ et pour les aires, c'est $k^2$.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, ta rédaction doit être structurée : 1. Pour la transformation, cite le mot-clé "translation" et décris brièvement le mouvement (ou cite les points de référence). 2. Pour le calcul d'aire, explique ta méthode de comptage ou montre ta décomposition de la figure. 3. Pour Marie, énonce clairement la propriété du cours : "Si les dimensions d'une figure sont multipliées par $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$". Effectue ensuite le calcul numérique pour prouver qu'elle se trompe.