Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente révision des bases de géométrie plane indispensables en classe de Première Spécialité. L'objectif est de vérifier la faisabilité d'un projet d'aménagement (une voile d'ombrage) en comparant l'aire de trois modèles de triangles à un seuil critique de 8 m². Ce type de problème permet de mobiliser des outils fondamentaux : le calcul d'aire d'un triangle rectangle, le théorème de Pythagore et la trigonométrie du triangle rectangle.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, un élève de Première doit maîtriser les points suivants :

• La formule de l'aire : Pour un triangle rectangle, l'aire est égale au demi-produit des côtés de l'angle droit.
• Le théorème de Pythagore : Indispensable lorsqu'une longueur manque (comme dans le Modèle 2).
• La trigonométrie (CAH SOH TOA) : Nécessaire pour le Modèle 3 où seul l'hypoténuse et un angle sont connus.
• La conversion des valeurs exactes : Savoir manipuler les racines carrées pour obtenir une valeur décimale finale.

Correction détaillée et guide de résolution

Modèle 1 :
Le triangle est rectangle avec une base $b = 4$ m et une hauteur $h = 3,5$ m. L'aire est donnée par :
$A_1 = \frac{4 \times 3,5}{2} = 7 \text{ m}^2$.
Puisque $7 < 8$, le modèle 1 ne convient pas.

Modèle 2 :
Ici, nous connaissons l'hypoténuse ($5$ m) et un côté de l'angle droit ($3$ m). Pour calculer l'aire, nous devons trouver la base $PT$. D'après le théorème de Pythagore :
$PT^2 + 3^2 = 5^2 \implies PT^2 + 9 = 25 \implies PT^2 = 16$.
Donc $PT = 4$ m. L'aire est alors :
$A_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ m}^2$.
Puisque $6 < 8$, le modèle 2 ne convient pas.

Modèle 3 :
Le triangle possède un angle de $45^\circ$ et une hypotenuse de $6$ m. C'est un triangle rectangle isocèle (car l'autre angle aigu vaut $90 - 45 = 45^\circ$). Utilisons la trigonométrie :
$\sin(45^\circ) = \frac{UR}{6} \implies UR = 6 \times \sin(45^\circ) = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Le triangle étant isocèle, $UM = UR = 3\sqrt{2}$. L'aire est :
$A_3 = \frac{3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \times 2}{2} = 9 \text{ m}^2$.
Puisque $9 \ge 8$, le modèle 3 est le seul qui convient.

Vers la Première Spécialité

En Première Spécialité, ces calculs de longueurs et d'angles sont le socle de chapitres plus complexes comme le produit scalaire ou la géométrie repérée. Savoir passer d'un angle et d'une norme à des coordonnées (ou des longueurs de côtés) est une compétence clé pour projeter des vecteurs.