Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet de Nouvelle-Calédonie 2018, propose deux affirmations indépendantes qui mobilisent des compétences fondamentales en mathématiques : la modélisation géométrique par des expressions algébriques et le dénombrement systématique. Bien que d'apparence simple, il permet d'introduire des concepts de la classe de Première Spécialité, notamment la manipulation de formes polynomiales du second degré et la logique algorithmique.
Points de vigilance et notions requises
Pour l'affirmation 1, la principale difficulté réside dans la lecture correcte de la figure. Il s'agit d'une soustraction d'aires. Le candidat doit identifier que l'aire grisée est obtenue en retirant l'aire du petit carré central à celle du grand carré extérieur. En Première Spécialité, cela renvoie à la notion de fonction du second degré de la forme $f(x) = -x^2 + 36$.
Pour l'affirmation 2, l'erreur classique consiste à oublier que le chiffre 8 apparaît deux fois dans le nombre 88. Ce type de problème peut être résolu de manière moderne en utilisant l'Algorithmie et un script Python simple parcourant une boucle for de 1 à 100.
Correction détaillée et justification
- Affirmation 1 : VRAIE
Le grand carré a un côté de 6 unités de longueur. Son aire est donc de $6 \times 6 = 36$. Le carré blanc central a un côté de $x$. Son aire est donc de $x \times x = x^2$. L'aire de la partie grise correspond à la différence entre ces deux aires : $A = 36 - x^2$. L'affirmation est donc exacte. - Affirmation 2 : VRAIE
Comptons méthodiquement les occurrences du chiffre 8 :
- Dans les unités : 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 (soit 10 fois).
- Dans les dizaines : 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 (soit 10 fois).
Attention, le nombre 88 a été cité dans les deux listes car il possède un 8 en unité et un 8 en dizaine. Le total est bien $10 + 10 = 20$. L'affirmation est donc exacte.
Ouverture vers le programme de Première
En Première Spécialité, l'expression $36 - x^2$ peut être étudiée comme une fonction. On peut chercher ses racines (les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire est nulle, ici $x=6$) ou son maximum. Quant au dénombrement, il préfigure les chapitres sur les probabilités et la gestion des listes en Python.