Introduction aux notions de l'exercice 7 du Brevet 2017
Cet exercice, extrait du sujet du Brevet de Mathématiques 2017 (Métropole), est un modèle du genre car il mobilise plusieurs compétences transversales du programme de 3ème. Il s'articule autour de deux grands axes : la proportionnalité et la géométrie dans l'espace (spécifiquement le cylindre de révolution). L'élève est confronté à une situation concrète (la fabrication de confiture) qui nécessite une rigueur particulière dans la manipulation des unités et l'application des formules de volume. Cet exercice est idéal pour réviser la gestion des grandeurs et mesures, un pilier de l'épreuve de mathématiques.
Analyse Méthodique de la Question 1 : La Proportionnalité
La première question repose sur une situation de proportionnalité simple. Léo suit une recette imposant un ratio fixe : $700\text{ g}$ de sucre pour $1\text{ kg}$ de fraises. Pour résoudre ce problème, il convient d'identifier le coefficient de proportionnalité ou d'utiliser le produit en croix. Si pour $1\text{ kg}$, nous avons $0,7\text{ kg}$ de sucre, alors pour $1,8\text{ kg}$ de fraises, le calcul est : $1,8 \times 0,7$. Le raisonnement doit être clairement exposé : on multiplie la masse de fraises par le ratio de sucre par kilo. L'élève doit faire attention à bien convertir ses unités si nécessaire, bien qu'ici travailler en kilogrammes ou en grammes soit possible tant que la cohérence est maintenue. La réponse attendue est $1,26\text{ kg}$ de sucre (ou $1260\text{ g}$).
Analyse Méthodique de la Question 2 : Volumes et Conversions
Cette question est la plus dense techniquement. Léo a obtenu $2,7\text{ litres}$ de confiture. L'enjeu est de déterminer combien de pots il peut remplir. Voici les étapes cruciales :
1. **Calcul de la hauteur de remplissage** : Le pot mesure $12\text{ cm}$ de haut mais n'est rempli que jusqu'à $1\text{ cm}$ du bord. La hauteur utile ($h$) est donc de $12 - 1 = 11\text{ cm}$. C'est le piège classique où l'on utilise la hauteur totale par erreur.
2. **Calcul du rayon** : Le diamètre est de $6\text{ cm}$, le rayon ($R$) est donc de $3\text{ cm}$.
3. **Application de la formule du volume** : Le volume d'un cylindre est donné par $V = \pi \times R^2 \times h$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $V = \pi \times 3^2 \times 11 = 99\pi \approx 311,02\text{ cm}^3$.
4. **Conversion des unités** : Rappelons que $1\text{ litre} = 1000\text{ cm}^3$. Les $2,7\text{ L}$ de Léo correspondent donc à $2700\text{ cm}^3$.
5. **Calcul final** : Pour trouver le nombre de pots, on divise le volume total par le volume d'un pot : $2700 / 311,02 \approx 8,68$. Léo pourra donc remplir complètement 8 pots. Attention, la question demande combien il pourra en remplir : on attend généralement un nombre entier.
Analyse Méthodique de la Question 3 : Surface Latérale et Échelle
La question 3 introduit la géométrie plane associée à la géométrie spatiale.
a) **Longueur de l'étiquette** : L'étiquette recouvre toute la surface latérale. Sa longueur correspond donc au périmètre de la base du pot (le cercle). La formule du périmètre est $P = 2 \times \pi \times R$ ou $P = \pi \times D$. Soit $P = \pi \times 6 \approx 18,84\text{ cm}$. Cela confirme la valeur d'environ $18,8\text{ cm}$ demandée par l'énoncé.
b) **Dessin à l'échelle 1/3** : L'échelle $\frac{1}{3}$ signifie que toutes les dimensions réelles doivent être divisées par 3. L'étiquette est un rectangle. Sa longueur réelle est de $18,8\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$ (elle recouvre toute la surface latérale du pot). Sur le dessin, la longueur sera de $18,8 / 3 \approx 6,27\text{ cm}$ et la largeur (hauteur du pot) sera de $12 / 3 = 4\text{ cm}$.
Les Pièges à éviter pour le jour du Brevet
Plusieurs erreurs classiques peuvent faire perdre des points sur ce type d'exercice :
- **Le Rayon vs Diamètre** : Utiliser $6\text{ cm}$ au lieu de $3\text{ cm}$ dans la formule du volume est l'erreur la plus fréquente. Toujours vérifier si l'énoncé donne le diamètre ou le rayon.
- **L'unité de volume** : Ne pas confondre $cm^3$ et $cm^2$. Le volume s'exprime en cubes. De plus, la conversion Litres vers $cm^3$ doit être maîtrisée par cœur ($1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$).
- **La hauteur utile** : Bien lire l'énoncé pour le "$1\text{ cm}$ du bord". Si tu utilises $12\text{ cm}$ au lieu de $11\text{ cm}$, tout le calcul de la question 2 est faussé.
- **L'échelle** : Appliquer l'échelle uniquement sur une dimension au lieu des deux lors du dessin du rectangle.
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'aligner des chiffres. Structurez votre réponse :
1. **Citez la formule** : Avant chaque calcul de volume ou d'aire, écrivez la formule littérale (ex: $V = \pi R^2 h$).
2. **Détaillez les étapes** : Montrez explicitement la soustraction pour la hauteur utile et la division pour le rayon.
3. **Phrases de conclusion** : Chaque résultat numérique doit être accompagné d'une phrase de conclusion avec l'unité correcte (ex : "Léo aura besoin de $1,26\text{ kg}$ de sucre.").
4. **Précision** : Utilisez la touche $\pi$ de votre calculatrice pour les calculs intermédiaires et ne pas arrondir trop tôt afin de garder une précision optimale pour le résultat final.