Introduction aux fondamentaux de la géométrie plane

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2013 en Polynésie est un classique indispensable pour tout élève de troisième souhaitant consolider ses bases en géométrie. Il mobilise deux piliers du programme de mathématiques : le Théorème de Pythagore et la caractérisation des quadrilatères particuliers, en l'occurrence le rectangle. Cet exercice est particulièrement formateur car il mêle construction géométrique, calcul algébrique et raisonnement déductif basé sur des définitions précises.

Analyse Méthodique : Guide de résolution pas à pas

La première étape consiste en la construction d'un triangle rectangle. Bien que cela paraisse simple, la précision est de mise. Pour tracer un triangle ABC rectangle en C avec AB = 10 cm (l'hypoténuse) et AC = 8 cm, il est conseillé de commencer par le segment [AC] de 8 cm. Ensuite, utilisez une équerre pour tracer la perpendiculaire passant par C. Pour trouver le point B, utilisez un compas réglé sur 10 cm, pointez sur A et marquez l'arc de cercle qui coupe la perpendiculaire. Cette méthode garantit une figure parfaite.

Utilisation du Théorème de Pythagore pour calculer BC

La question 2 est le cœur calculatoire de l'exercice. L'élève doit démontrer sa capacité à appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur d'un côté de l'angle droit. Le raisonnement doit être structuré :

1. On sait que le triangle ABC est rectangle en C.
2. D'après le théorème de Pythagore, nous avons la relation : $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
3. En remplaçant par les valeurs numériques : $10^2 = 8^2 + BC^2$, soit $100 = 64 + BC^2$.
4. On en déduit $BC^2 = 100 - 64 = 36$.
5. Puisque BC est une longueur (donc positive), $BC = \sqrt{36} = 6$ cm.

Cette rigueur dans l'écriture de la relation est essentielle pour obtenir tous les points. Une erreur fréquente consiste à additionner les carrés alors que l'on cherche un côté de l'angle droit et non l'hypoténuse.

Construction des perpendiculaires et analyse du quadrilatère

La suite de l'exercice (question 3) introduit des points mobiles sur les segments. Le placement du point M sur [AB] à 2 cm de A change la configuration. Les tracés des perpendiculaires à [AC] et [BC] créent une nouvelle forme géométrique : MFCE. La question 3.d est une épreuve de logique pure. On nous demande de choisir la proposition permettant de prouver que MFCE est un rectangle.

Analysons les données :
- Par construction, l'angle en C est droit (triangle rectangle).
- ME est perpendiculaire à [AC], donc l'angle en E est droit.
- MF est perpendiculaire à [BC], donc l'angle en F est droit.
Nous avons donc un quadrilatère possédant au moins trois angles droits.

Pourquoi la Proposition 3 est-elle la meilleure ? La définition minimale et la plus efficace d'un rectangle dans un quadrilatère est d'avoir trois angles droits (car la somme des angles d'un quadrilatère étant de 360°, le quatrième sera forcément droit). La Proposition 1 est vraie mais redondante ici, et la Proposition 2 traite des conséquences (diagonales) et non de la preuve initiale.

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

Le principal piège dans cet exercice réside dans la confusion lors de l'application de Pythagore. De nombreux élèves effectuent l'opération $10^2 + 8^2$ par automatisme. Il est crucial d'identifier l'hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) avant d'écrire l'égalité. Un autre point de vigilance concerne les unités : n'oubliez jamais de préciser 'cm' dans votre résultat final. Enfin, pour la construction, une mine de crayon bien taillée est indispensable car un décalage d'un millimètre peut fausser la perception visuelle de la figure.

Conseils de rédaction pour maximiser sa note

Pour séduire le correcteur, utilisez des connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Pour la question sur le rectangle, ne vous contentez pas de recopier la proposition. Expliquez brièvement pourquoi elle s'applique : 'Le quadrilatère MFCE possède trois angles droits (en C, E et F), donc d'après la proposition 3, c'est un rectangle'. Cette clarté démontre que vous n'avez pas choisi la réponse au hasard. La géométrie au Brevet n'est pas seulement une affaire de dessin, c'est une démonstration de logique mathématique.