Introduction à la Géométrie Plane du Brevet

La géométrie plane est un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2014 en zone Asie sollicite des compétences de raisonnement déductif pur. Contrairement à de nombreux exercices qui s'appuient sur le calcul de longueurs via les théorèmes de Pythagore ou Thalès, cet énoncé repose quasi exclusivement sur l'interprétation du codage géométrique et la maîtrise des propriétés fondamentales des quadrilatères et des triangles inscrits. L'objectif est simple : démontrer si deux droites, (AB) et (CD), sont parallèles dans deux configurations distinctes.

Analyse Méthodique de la Figure 1 : Le Parallélogramme

Dans la première figure, nous observons un quadrilatère ABCD dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point O. L'énoncé précise que les points O, A, C sont alignés, tout comme O, B, D. L'analyse du codage est ici primordiale pour construire l'argumentation.

Sur le segment [AC], nous remarquons des symboles identiques de part et d'autre du point O, ce qui signifie mathématiquement que $OA = OC$. De même, sur le segment [BD], le codage indique que $OB = OD$. Dans le langage de la géométrie plane, cela signifie que le point O est le milieu commun des deux diagonales. La propriété de référence en classe de 3ème est la suivante : "Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme."

Une fois qu'il est établi que ABCD est un parallélogramme, nous pouvons mobiliser la définition même de cette figure : les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles deux à deux. Par conséquent, les droites (AB) et (CD) sont bien parallèles. Pour l'élève, la difficulté réside dans le passage de l'observation visuelle du codage à l'énoncé formel de la propriété. Il ne suffit pas de dire "ça se voit", il faut nommer le point O comme milieu.

Analyse Méthodique de la Figure 2 : Cercle et Perpendicularité

La seconde figure complexifie le raisonnement en introduisant un cercle de centre O. Ici, le parallélisme ne se démontre pas par les diagonales d'un quadrilatère, mais par une chaîne de déductions impliquant la perpendicularité.

Première étape : l'étude du triangle ABE. Nous savons que A, B et E appartiennent au cercle de centre O. De plus, les points A, O, E sont alignés, ce qui implique que le segment [AE] est un diamètre du cercle. Un théorème clé de 4ème/3ème stipule que : "Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse." On en déduit que le triangle ABE est rectangle en B. Cela signifie que la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BE), et par extension à la droite (BC) puisque B, E et C sont alignés.

Deuxième étape : l'observation de la droite (CD). Le codage sur la figure 2 montre explicitement un angle droit au point C, entre les droites (BC) et (CD). Nous nous retrouvons donc avec deux droites, (AB) et (CD), qui sont toutes les deux perpendiculaires à une même troisième droite (BC). La propriété finale à appliquer est la suivante : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles." La conclusion est donc affirmative : (AB) est bien parallèle à (CD).

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Le premier piège de cet exercice est de vouloir utiliser la réciproque du théorème de Thalès. Bien que les configurations puissent y faire penser (forme en papillon dans la figure 1), aucune longueur numérique n'est fournie. Tenter d'utiliser Thalès sans mesures mènerait à une impasse.

Le second piège concerne la figure 2 et la confusion entre le centre du cercle et l'alignement. Il est crucial de bien lire l'énoncé : A, O, E et D sont alignés, mais D n'est pas sur le cercle. L'élève doit se limiter aux données fournies (A, B, E sur le cercle) pour prouver l'angle droit en B. N'essayez jamais de deviner une mesure d'angle à l'œil nu ; seul le codage ou les théorèmes font foi.

Conseils de Rédaction pour Maximiser ses Points

Pour convaincre le correcteur au Brevet, la structure "Données / Propriété / Conclusion" est indispensable. Par exemple, pour la figure 1 :
1. Données : "On sait que O est le milieu de [AC] et de [BD] d'après le codage."
2. Propriété : "Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme."
3. Conclusion : "Donc ABCD est un parallélogramme, ce qui implique que (AB) // (CD)."
Cette clarté rédactionnelle prouve que l'élève ne se contente pas de deviner le résultat, mais qu'il maîtrise les liens logiques entre les objets géométriques. Pensez également à bien citer les noms des points alignés pour justifier que des segments perpendiculaires ou parallèles s'étendent bien aux droites entières demandées dans la consigne.