Introduction aux notions du Brevet 2017

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2017 pour la zone Étrangers est un modèle de polyvalence. Il balaie trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : le théorème de Pythagore (et sa réciproque), la trigonométrie dans le triangle rectangle, et le calcul numérique impliquant des fractions et de la proportionnalité. En mathématiques, la réussite au Brevet dépend souvent de la capacité à identifier rapidement quel outil utiliser face à un problème concret (menuiserie, architecture, peinture). Cet exercice de type 'Vrai/Faux' avec justification est particulièrement formateur car il oblige à une rédaction rigoureuse, souvent notée sur autant de points que le résultat lui-même.

Analyse de l'Affirmation 1 : La Réciproque de Pythagore

La première question nous place dans une situation réelle de menuiserie. L'artisan prend des mesures pour vérifier la perpendicularité d'un mur. Les données sont les suivantes : $AB = 65$ cm, $AC = 72$ cm et $BC = 97$ cm. L'objectif est de déterminer si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. La méthodologie consiste à comparer le carré du plus long côté avec la somme des carrés des deux autres côtés.

• D'une part, identifions le côté le plus long : ici, c'est $[BC]$. Calculons son carré : $BC^2 = 97^2 = 9409$.
• D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + AC^2 = 65^2 + 72^2 = 4225 + 5184 = 9409$.

On constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée. Selon la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'étagère possède donc bien un angle droit. L'affirmation 1 est VRAIE.

Analyse de l'Affirmation 2 : Trigonométrie et Cosinus

Le deuxième problème concerne la pente d'un toit. On nous donne un triangle $ACH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$. Nous savons que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. Les données sont : $AC = 6$ m (hypoténuse) et $AH = 5$ m (côté adjacent à l'angle $\widehat{CAH}$).

Pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{CAH}$, nous utilisons les rapports trigonométriques. Ici, nous connaissons le côté adjacent et l'hypoténuse, la formule du cosinus est donc la plus appropriée : $\cos(\widehat{CAH}) = \frac{AH}{AC}$.

En remplaçant par les valeurs : $\cos(\widehat{CAH}) = \frac{5}{6}$. Pour obtenir l'angle, on utilise la fonction arc-cosinus (ou $\cos^{-1}$) sur la calculatrice : $\widehat{CAH} = \arccos(\frac{5}{6}) \approx 33,56^\circ$. La norme impose que l'angle soit compris entre $30^\circ$ et $35^\circ$. Comme $33,56^\circ$ se situe bien dans cet intervalle, la construction respecte la norme. L'affirmation 2 est VRAIE.

Analyse de l'Affirmation 3 : Fractions et Proportionnalité

La troisième situation traite de la quantité de peinture nécessaire pour des volets. Analysons les étapes :

• Un volet possède deux faces (intérieur et extérieur). L'énoncé précise qu'un pot de $\frac{1}{6}$ est utilisé pour faire une couche sur les deux faces d'UN volet.
• Il y a 4 paires de volets, soit un total de $4 \times 2 = 8$ volets.
• Chaque volet doit recevoir 3 couches de peinture.

Calculons le nombre total de 'couches-volets' nécessaires : $8 \text{ volets} \times 3 \text{ couches} = 24 \text{ couches}$. Puisque chaque couche pour un volet nécessite $\frac{1}{6}$ de pot, la quantité totale de pots est de : $24 \times \frac{1}{6} = 4$. Le peintre affirme qu'il lui faut 2 pots, or nos calculs démontrent qu'il en faut 4. L'affirmation 3 est FAUSSE.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Sur ce type d'exercice, plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :

• Confusion entre Théorème et Réciproque : Pour l'affirmation 1, on ne dit pas 'D'après le théorème de Pythagore' si on cherche à prouver que l'angle est droit. On dit 'D'après la réciproque'.
• Mode de la calculatrice : En trigonométrie, vérifiez impérativement que votre calculatrice est en mode 'Degré' (DEG) et non en 'Radian' (RAD) ou 'Grade' (GRA).
• Lecture de l'énoncé : Pour les volets, il ne faut pas oublier de multiplier par 2 pour obtenir le nombre de volets (une paire = 2), puis par 3 pour les couches. Une lecture superficielle mène souvent à un résultat de 1 ou 2 pots.
• Unités : Toujours vérifier que les unités sont cohérentes. Ici, tout était déjà harmonisé (cm pour l'un, m pour l'autre), mais restez vigilants.

Conclusion pédagogique

Maîtriser cet exercice, c'est s'assurer une base solide pour le Brevet. La géométrie plane et le calcul de proportions sont des incontournables qui reviennent chaque année. La clé de la réussite réside dans la clarté de la justification : annoncez la propriété utilisée, posez vos calculs proprement, et concluez par une phrase en rapport avec la question posée.