Introduction à la Géométrie Plane et aux Polygones Réguliers

L'exercice 6 du Brevet 2014 de la zone Nouvelle-Calédonie est un cas d'étude fascinant qui mêle l'art ancestral de l'origami à la rigueur mathématique des polygones réguliers. Cet exercice mobilise des compétences essentielles en géométrie plane, notamment la compréhension des angles au centre, les propriétés des triangles isocèles et l'application du théorème de Pythagore. Bien que certaines notions sur les polygones de plus de quatre côtés puissent aujourd'hui être considérées comme Hors programme dans le socle commun strict de 3ème, la logique de résolution reste un entraînement de premier ordre pour développer le raisonnement déductif nécessaire au lycée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Abordons cet exercice étape par étape pour en extraire toute la substance pédagogique. L'énoncé nous présente un canevas de pliage pour une grue japonaise, s'inscrivant dans un carré de 15 cm de côté. La figure centrale est le point de départ de notre analyse.

1. Identification du Polygone : Pentagone, Octogone ou Hexagone ?

La première question demande d'identifier la nature du polygone ABCDEFGH. En géométrie, la nomenclature d'un polygone dépend de son nombre de côtés. En observant la figure et en comptant les sommets de A jusqu'à H, nous dénombrons 8 sommets distincts. Par définition, un polygone à 8 côtés et 8 sommets est un octogone. Le préfixe « octo- » provient du grec ancien et signifie huit. Il est crucial pour l'élève de bien mémoriser ces préfixes : penta (5), hexa (6), hepta (7), et octo (8).

2. Calcul de la Mesure de l'Angle au Centre $\widehat{AOB}$

Le point O est le centre du polygone régulier. Dans un polygone régulier, tous les angles au centre formés par deux sommets consécutifs et le centre sont égaux. Puisque le tour complet d'un cercle représente 360°, la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ s'obtient en divisant 360 par le nombre de côtés du polygone. Ici, $360 / 8 = 45$. Ainsi, $\widehat{AOB} = 45^\circ$. Cette étape est fondamentale car elle conditionne toute la suite des calculs trigonométriques ou géométriques de la figure.

3. Calcul de la Mesure de l'Angle $\widehat{OAB}$

Pour déterminer l'angle $\widehat{OAB}$, nous devons nous placer dans le triangle OAB. Dans un polygone régulier, la distance du centre à chaque sommet est identique, donc OA = OB. Le triangle OAB est par conséquent un triangle isocèle en O. Une propriété clé des triangles isocèles est que les angles à la base sont de même mesure : $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. Nous savons que la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°. En soustrayant l'angle au sommet principal, nous obtenons : $180 - 45 = 135^\circ$. Comme les deux angles à la base sont égaux, nous divisons par deux : $135 / 2 = 67,5^\circ$. Donc, $\widehat{OAB} = 67,5^\circ$.

4. Calcul de la Longueur AC et Application de Pythagore

La dernière question nous donne OA = OC = 4,5 cm. Il faut calculer AC. Attention ici à l'observation de la figure : l'angle $\widehat{AOC}$ n'est pas l'angle au centre entre deux sommets consécutifs, mais entre A et C, en passant par B. L'angle $\widehat{AOC}$ est donc la somme de deux angles au centre : $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 45 + 45 = 90^\circ$. Le triangle OAC est donc un triangle rectangle isocèle en O. C'est ici que le théorème de Pythagore entre en jeu. Dans le triangle OAC rectangle en O, l'hypoténuse est AC. On a : $AC^2 = OA^2 + OC^2$. En remplaçant par les valeurs : $AC^2 = 4,5^2 + 4,5^2 = 20,25 + 20,25 = 40,5$. Pour trouver AC, on extrait la racine carrée : $AC = \sqrt{40,5} \approx 6,3639$. L'énoncé demandant un arrondi au dixième, nous retenons 6,4 cm.

Les Pièges Classiques à Éviter

Plusieurs erreurs peuvent compromettre la réussite de cet exercice. Premièrement, la confusion dans le décompte des sommets. Un oubli ou un sommet compté deux fois change la nature du polygone et invalide tous les calculs d'angles suivants. Deuxièmement, l'erreur de calcul sur l'angle $\widehat{AOC}$. Beaucoup d'élèves utilisent l'angle de 45° au lieu de réaliser que A et C sont séparés par un sommet intermédiaire. Enfin, la précision de l'arrondi : arrondir au dixième signifie garder un seul chiffre après la virgule en observant le deuxième chiffre pour décider si l'on majore ou non.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être structurée. Commencez toujours par nommer le triangle dans lequel vous travaillez et précisez sa nature (ex: « Dans le triangle OAC, rectangle en O... »). Citez explicitement le théorème utilisé (« D'après le théorème de Pythagore... »). Présentez vos calculs de manière linéaire et n'oubliez jamais l'unité (ici le cm) dans votre phrase de conclusion. La clarté de votre raisonnement est tout aussi importante que le résultat final pour le correcteur.