Introduction aux notions du Brevet 2015

Cet exercice, issu de la session 2015 en Amérique du Sud, prend la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est fréquent au Diplôme National du Brevet (DNB) car il permet d'évaluer rapidement un large éventail de compétences : le calcul numérique, l'arithmétique, les statistiques et la résolution de systèmes. Bien qu'aucune justification ne soit demandée le jour J, la maîtrise des concepts sous-jacents est indispensable pour éviter les pièges classiques.

Analyse Question 1 : Puissances et Arithmétique

La première question demande de calculer $\left(4\sqrt{2}\right)^2$. Pour résoudre cela, on utilise la propriété des puissances : $(a \times b)^2 = a^2 \times b^2$. Ici, nous avons $4^2 \times (\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32$. L'élève doit ensuite comparer ce résultat aux propositions. Si le résultat 16 est faux, il faut tester si 32 est le PGCD de 128 et 96. En utilisant l'algorithme d'Euclide ou la décomposition en facteurs premiers ($128 = 2^7$ et $96 = 2^5 \times 3$), on identifie que le Plus Grand Commun Diviseur est effectivement $2^5 = 32$. Cette question lie astucieusement le calcul de racines carrées et l'arithmétique pure.

Analyse Question 2 : Statistiques et Médiane

Ici, on étudie une série statistique de 9 valeurs : 7, 8, 8, 12, 12, 14, 15, 15, 41. La série est déjà ordonnée, ce qui facilite l'identification de la médiane. L'effectif total est de 9 (impair), donc la médiane est la $(\frac{9+1}{2})$-ème valeur, soit la 5ème : 12. Pour répondre à la question, il faut calculer la moyenne : $\frac{7+8+8+12+12+14+15+15+41}{9} = \frac{132}{9} \approx 14,66$. On constate que la médiane (12) est strictement inférieure à la moyenne (14,66). Ce phénomène s'explique par la présence d'une valeur extrême (41) qui tire la moyenne vers le haut sans affecter la position centrale de la médiane.

Analyse Question 3 : Calcul de Fractions et Proportion

Le problème pose la question du complémentaire. Si $\frac{2}{3}$ des 30 élèves utilisent le bus, alors la fraction des élèves ne l'utilisant pas est $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Le nombre d'élèves concernés se calcule en multipliant cette fraction par l'effectif total : $(1 - \frac{2}{3}) \times 30 = \frac{1}{3} \times 30 = 10$. La proposition 3 traduit exactement ce raisonnement logique. Il est crucial ici de bien lire l'énoncé pour ne pas calculer le nombre d'élèves qui *prennent* le bus, ce qui mènerait à l'erreur de la proposition 1.

Analyse Question 4 : Résolution de Système

La résolution de systèmes d'équations à deux inconnues, bien que souvent considérée comme "hors programme" dans certains cycles récents du collège, reste un pilier du calcul algébrique. Pour le système composé de $2x + y = 11$ et $x - 3y = -12$, la méthode la plus rapide dans un QCM est la vérification. En testant le couple (3 ; 5) : $2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$ (Vrai) et $3 - 3(5) = 3 - 15 = -12$ (Vrai). Le couple (3 ; 5) est donc l'unique solution. La rigueur dans la substitution des valeurs est la clé pour ne pas se tromper de signe.

Les Pièges à Éviter

Dans un QCM, le premier piège est la précipitation. Par exemple, à la Question 1, un élève pourrait oublier d'élever le 4 au carré et répondre $4 \times 2 = 8$. À la Question 2, l'erreur classique consiste à ne pas trier la série (ici elle l'était) ou à confondre moyenne et médiane. Pour la Question 3, l'oubli du mot "ne... pas" change totalement le résultat. Enfin, pour les systèmes, une simple erreur de calcul de signe sur une ligne invalide tout le raisonnement.

Conseils de Rédaction et de Méthode

Même si la justification n'est pas demandée, gardez un brouillon propre. Pour les statistiques, listez les valeurs et barrez-les de chaque côté pour trouver le centre. Pour les fractions, dessinez un schéma si nécessaire (un rectangle coupé en trois). Pour le PGCD, privilégiez la méthode avec laquelle vous êtes le plus à l'aise (soustractions successives ou Euclide). En présentant votre réponse sur la copie, écrivez simplement le numéro de la question suivi de la réponse choisie en toutes lettres pour éviter toute ambiguïté de lecture par le correcteur.