Introduction aux Fonctions et Modélisation au Brevet
L'exercice 5 du Brevet 2017 de la zone Wallis-et-Futuna est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine l'étude des fonctions affines, la lecture graphique et l'interprétation de données concrètes liées à la santé : la fréquence cardiaque maximale. Dans cet énoncé, nous manipulons deux modèles mathématiques : l'ancien, représenté par la fonction $f(x) = 220 - x$, et le nouveau, plus précis, $g(x) = 208 - 0,7x$. Comprendre comment ces fonctions évoluent en fonction de l'âge $x$ est essentiel pour valider les compétences du socle commun en mathématiques.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Calcul d'images et comparaison de modèles
La première étape consiste à calculer l'image de 5 par les deux fonctions. Pour un enfant de 5 ans ($x = 5$) :
- Avec l'ancienne formule : $f(5) = 220 - 5 = 215$ pulsations/minute.
- Avec la nouvelle formule : $g(5) = 208 - 0,7 \times 5 = 208 - 3,5 = 204,5$ pulsations/minute.
On observe déjà que pour un jeune enfant, la nouvelle formule propose une limite légèrement inférieure. Cette étape demande une simple substitution de la variable $x$ par la valeur numérique donnée.
2. Représentation graphique et tableau de valeurs
Le tableau de valeurs permet de visualiser la décroissance de la fréquence cardiaque avec l'âge. Pour tracer les droites $d$ et $d'$, il est crucial de placer les points avec précision sur le repère fourni.
- La fonction $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $-1$ et d'ordonnée à l'origine $220$.
- La fonction $g$ est une fonction affine de coefficient directeur $-0,7$ et d'ordonnée à l'origine $208$.
Puisque ce sont des droites, deux points suffisent pour chaque tracé, mais utiliser les points du tableau (pour $x=0$ et $x=100$) sécurise votre graphique. L'intersection des deux droites sera le point pivot de l'analyse comparative demandée à la question suivante.
3. Résolution d'inéquations et interprétation
La question 3 demande de déterminer à partir de quel âge la nouvelle formule $g(x)$ donne un résultat supérieur ou égal à l'ancienne $f(x)$. Mathématiquement, cela revient à résoudre l'inéquation :
$208 - 0,7x \geq 220 - x$.
En regroupant les termes en $x$ d'un côté :
$-0,7x + x \geq 220 - 208$
$0,3x \geq 12$
$x \geq \frac{12}{0,3}$ soit $x \geq 40$.
Interprétation : À partir de 40 ans, la fréquence cardiaque maximale recommandée augmente avec la nouvelle formule par rapport à l'ancienne. Ce calcul justifie l'affirmation du journal citée dans l'énoncé.
4. Pourcentages et efficacité de l'effort
La dernière question introduit la notion de proportionnalité et de fractions (via le pourcentage). Pour une personne de 30 ans, on calcule d'abord $g(30)$ :
$g(30) = 208 - 0,7 \times 30 = 208 - 21 = 187$ pulsations/minute.
L'exercice physique est optimal à 80% de cette valeur. On calcule donc :
$\frac{80}{100} \times 187 = 0,8 \times 187 = 149,6$.
La fréquence cible est donc d'environ 150 pulsations par minute.
Les Pièges à Éviter
Attention à la manipulation des nombres décimaux comme $0,7$. Une erreur fréquente est de transformer $0,7x$ en $7x$ lors des calculs rapides. De même, lors du tracé des droites, veillez à bien respecter l'échelle des axes (unités de 5 en 5 ou de 10 en 10). Ne confondez pas non plus la résolution de $g(x) = f(x)$ avec le calcul de l'image. Enfin, n'oubliez jamais de mentionner l'unité (pulsations/minute) dans votre phrase de conclusion pour obtenir l'intégralité des points de rédaction.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour chaque question, commencez par citer la formule utilisée. Par exemple : "D'après la formule $g(x) = 208 - 0,7x$, pour $x = 30$, nous avons...". Présentez vos étapes de résolution d'inéquation clairement. Une copie propre, où les calculs sont alignés et les résultats encadrés, facilite le travail du correcteur et valorise votre raisonnement mathématique.