Introduction à la Géométrie du Brevet : Le Viaduc de Millau

L'exercice 2 du sujet de Brevet Asie 2016 est une étude de cas concrète portant sur l'un des fleurons de l'ingénierie française : le viaduc de Millau. Ce type d'énoncé, dit 'contextualisé', est extrêmement fréquent à l'examen. Il permet d'évaluer la capacité de l'élève à extraire des données mathématiques d'une situation réelle et d'un schéma complexe. Les thèmes centraux abordés ici sont le théorème de Pythagore, la trigonométrie (calcul d'un angle) et la réciproque du théorème de Thalès. Ces trois piliers de la géométrie de 3ème représentent souvent une part importante des points de l'épreuve de mathématiques.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Calcul de Longueur et Pythagore

La première question nous demande de calculer la longueur du hauban [CD]. Pour réussir, il faut d'abord isoler le triangle pertinent. En observant le schéma, on remarque que le pylône [AB] est vertical et la chaussée est horizontale. Par conséquent, le triangle ACD est rectangle en A. C'est l'étape de 'modélisation' indispensable avant d'appliquer toute formule. Une fois le triangle identifié, nous énonçons le théorème de Pythagore : 'Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés'. Ici, l'hypoténuse est le côté [CD]. La relation s'écrit donc : $CD^2 = AC^2 + AD^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies ($AC = 76$ m et $AD = 154$ m), nous obtenons $CD^2 = 76^2 + 154^2$, soit $CD^2 = 5776 + 23716 = 29492$. Pour trouver $CD$, on utilise la racine carrée : $CD = \sqrt{29492} \approx 171,73$ m. L'énoncé demande un arrondi au mètre près, donc la réponse attendue est $172$ mètres. Conseil du professeur : N'oubliez jamais d'écrire la phrase d'introduction précisant que le triangle est rectangle, sans quoi l'application du théorème est injustifiée.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Maîtriser la Trigonométrie

La deuxième question sollicite vos connaissances en trigonométrie pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{CDA}$. Dans le triangle ACD toujours rectangle en A, nous devons choisir le bon rapport (Cosinus, Sinus ou Tangente). Nous connaissons le côté opposé à l'angle (AC = 76 m) et le côté adjacent (AD = 154 m). Le rapport le plus direct est donc la tangente : $\tan(\widehat{CDA}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{AC}{AD}$. En injectant les données, on a $\tan(\widehat{CDA}) = \frac{76}{154}$. Pour obtenir la mesure de l'angle, il faut utiliser la fonction 'Arctan' ou '2nd Tan' de la calculatrice. On trouve environ $26,26^\circ$. L'arrondi au degré près nous donne donc $26^\circ$. Astuce : Vérifiez toujours que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degrés' avant de commencer l'épreuve.

Analyse Méthodique de la Question 3 : Parallélisme et Réciproque de Thalès

La question cruciale est de savoir si les haubans [CD] et [EF] sont parallèles. En géométrie, pour démontrer que deux droites sont (ou ne sont pas) parallèles à partir de longueurs, on utilise la réciproque (ou la contraposée) du théorème de Thalès. Nous devons d'abord calculer les longueurs des segments AE et AF. On sait que $E$ appartient à [AC], donc $AE = AC - EC = 76 - 5 = 71$ m. De même, $F$ appartient à [AD], donc $AF = AD - FD = 154 - 12 = 142$ m. Maintenant, comparons les rapports de longueurs : $\frac{AE}{AC} = \frac{71}{76} \approx 0,934$ et $\frac{AF}{AD} = \frac{142}{154} \approx 0,922$. On constate que $\frac{AE}{AC} \neq \frac{AF}{AD}$. Puisque les rapports ne sont pas égaux, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (EF) et (CD) ne sont pas parallèles. Erreur classique : Beaucoup d'élèves oublient de recalculer les segments intermédiaires AE et AF et utilisent directement EC et FD dans leurs rapports, ce qui conduit à une conclusion erronée.

Les Pièges Fréquents et Conseils de Rédaction

Le premier piège de cet exercice réside dans la lecture du schéma. Il est explicitement indiqué qu'il n'est pas à l'échelle, il ne faut donc jamais se fier à une mesure prise à la règle. Le deuxième piège concerne les arrondis. Si vous arrondissez vos calculs intermédiaires trop tôt, votre résultat final sera faussé. Gardez toujours les valeurs exactes (fractions ou racines) jusqu'à la dernière étape. Concernant la rédaction, le jury du Brevet attend une structure claire : 'On sait que...', 'Propriété utilisée...', 'Calcul...', 'Conclusion'. Pour la question 3, mentionner l'alignement des points A, E, C et A, F, D dans cet ordre est une marque de rigueur qui valorise votre copie. Enfin, l'unité (le mètre ici) doit figurer dans votre phrase de conclusion mais ne doit pas encombrer vos lignes de calculs.

Pourquoi cet exercice est-il fondamental pour votre réussite ?

Cet exercice de 2016 est une synthèse parfaite du programme de géométrie du cycle 4. Il oblige à jongler entre des concepts différents tout en restant dans un cadre de réflexion logique. Maîtriser ce type de sujet vous assure non seulement une réussite sur les questions de géométrie plane, mais vous prépare aussi aux problèmes de section de solides ou d'agrandissement-réduction. En révisant ce corrigé, vous développez une réflexivité nécessaire pour identifier immédiatement quel outil mathématique sortir de votre boîte à outils selon la configuration géométrique présentée.