Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de 2017, mobilise des compétences fondamentales en mathématiques appliquées : la gestion des grandeurs composées (vitesse), la conversion d'unités et la résolution de problèmes additifs et multiplicatifs. Pour un élève de Première Spécialité, ce type d'exercice permet de renforcer l'agilité numérique nécessaire dans les chapitres de modélisation et de physique-chimie.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser plusieurs points clés :

• La conversion d'unités : Passer des nœuds aux km/h nécessite une multiplication précise. Il ne faut pas arrondir le coefficient de conversion avant la fin du calcul pour éviter les erreurs de précision.
• La relation $v = d/t$ : Il est crucial de savoir manipuler cette formule pour isoler le temps $t = d/v$.
• La gestion du temps : Le résultat obtenu en heures (sous forme décimale) doit être converti en minutes par une multiplication par 60.
• Analyse de la consommation : Bien distinguer la fraction du réservoir (consommation relative) de l'augmentation fixe (consommation additive).

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : Calcul du temps de trajet

Étape 1 : Convertir la vitesse d'Antoine. On nous donne 1 nœud = 1,852 km/h. La vitesse du bateau est donc :
$$v = 8 \times 1,852 = 14,816 \text{ km/h}$$

Étape 2 : Calculer le temps nécessaire pour parcourir $d = 5$ km. En utilisant la formule $t = d/v$ :
$$t = \frac{5}{14,816} \approx 0,337473 \text{ heures}$$

Étape 3 : Conversion en minutes. On multiplie par 60 :
$$T_{\text{min}} = 0,337473 \times 60 \approx 20,248$$
Arrondi à l'unité, il leur faut donc environ 20 minutes pour atteindre le lieu de pêche.

Question 2 : Calcul du volume d'essence restant

Étape 1 : Calculer la consommation à l'aller. Le réservoir contient 12 L et ils consomment un quart du plein :
$$C_{\text{aller}} = 12 \times \frac{1}{4} = 3 \text{ L}$$

Étape 2 : Calculer la consommation au retour. L'énoncé indique qu'ils consomment 1 L de plus qu'à l'aller :
$$C_{\text{retour}} = 3 + 1 = 4 \text{ L}$$

Étape 3 : Calculer le volume restant à l'arrivée. On soustrait la consommation totale du volume initial :
$$V_{\text{final}} = 12 - (3 + 4) = 12 - 7 = 5 \text{ L}$$
À leur arrivée, il restera 5 litres d'essence dans le réservoir.