Introduction aux programmes de calcul au Brevet

Les programmes de calcul constituent un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges. Cet exercice, extrait de la session 2017 pour la zone Amérique du Sud (Exercice 3), mobilise deux compétences essentielles du programme de 3ème : le calcul numérique avec des nombres relatifs et la modélisation algébrique menant à la résolution d'une équation du premier degré. L'objectif est de transformer des instructions textuelles en expressions littérales exploitables. Maîtriser ce passage du français au langage mathématique est crucial pour assurer des points faciles le jour J.

Analyse détaillée de la question 1 : L'application numérique

La première étape consiste à tester les programmes de Léo et Julie avec une valeur donnée, ici -3. C'est une question de 'mise en jambe' qui permet de vérifier si l'élève a bien compris l'enchaînement des opérations.

Pour Léo, le calcul est direct : on multiplie par 6 puis on ajoute 5. En utilisant le nombre -3, on obtient l'expression : $(-3 \times 6) + 5$. La règle des signes nous indique que le produit d'un nombre négatif par un positif est négatif, soit -18. En ajoutant 5, on remonte sur l'axe des nombres pour arriver à -13.

Pour Julie, le processus est légèrement plus complexe car le nombre de départ intervient à deux étapes différentes. On lui ajoute d'abord 8 : $(-3 + 8) = 5$. On multiplie ce résultat par le nombre de départ : $5 \times (-3) = -15$. Enfin, on soustrait le carré du nombre de départ. Attention ici ! Le carré de -3 est $(-3)^2 = 9$. On effectue donc $-15 - 9$, ce qui donne -24. Cette question souligne l'importance des priorités opératoires et de la manipulation des nombres relatifs.

Analyse détaillée de la question 2 : De l'arithmétique à l'algèbre

La seconde question demande de trouver un nombre tel que les deux programmes donnent le même résultat. Ici, l'utilisation d'une variable $x$ est indispensable pour modéliser la situation par une équation.

Le programme de Léo se traduit par l'expression : $f(x) = 6x + 5$. C'est une fonction affine classique. Pour Julie, l'expression est : $g(x) = (x + 8) \times x - x^2$. C'est ici que l'élève doit faire preuve de sagacité. En développant l'expression de Julie grâce à la distributivité simple, on obtient $x^2 + 8x - x^2$. Les termes en $x^2$ s'annulent de manière providentielle, nous laissant avec l'expression simplifiée $g(x) = 8x$.

L'égalité des deux résultats revient donc à résoudre l'équation $6x + 5 = 8x$. En isolant les termes en $x$, on soustrait $6x$ des deux côtés, ce qui nous donne $5 = 2x$. En divisant par 2, on trouve $x = 2,5$. Puisque 2,5 est un nombre positif, il s'agit de la solution recherchée.

Les pièges classiques à éviter

Le premier piège majeur concerne le carré d'un nombre négatif. Beaucoup d'élèves écrivent $-3^2 = -9$ au lieu de $(-3)^2 = 9$. Cette erreur de signe est fatale pour le résultat de Julie. Le second piège réside dans le développement de l'expression de Julie. Il ne faut pas oublier de multiplier la variable $x$ par chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse $(x + 8)$. Enfin, il arrive fréquemment que les élèves oublient de simplifier $x^2 - x^2$, pensant se retrouver face à une équation du second degré (avec des $x^2$) qu'ils ne savent pas encore résoudre de manière générale en 3ème.

Conseils de rédaction pour l'épreuve

Pour obtenir le maximum de points, la clarté est votre meilleure alliée. Pour la question 1, écrivez chaque étape de calcul ligne par ligne plutôt que de tout mettre sur une seule ligne. Utilisez des parenthèses claires autour des nombres négatifs. Pour la question 2, commencez par une phrase d'introduction telle que : 'Soit $x$ le nombre choisi au départ'. Montrez explicitement le développement de l'expression de Julie avant de poser l'équation. Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en mentionnant que le nombre trouvé est bien positif.